Matek házi. Elakadtam, hogyan kell megcsinálni?

jó látni olyan embereket, akik nem csak kirakják a házijukat, hanem tényleg gondolkodtak rajta.

Azt jól észrevetted, hogy azokat a számokat kell megszámolni 102-ig, amik

- vagy 3mal nem osztható páros számok

- vagy 3mal osztható páratlan számok.

MIndkettő fajtát ugyanúgy lehet megszámolni, számoljuk most meg először, hogy hány olyan szám van, ami páros és nem osztható 3mal. Ezt úgy számoljuk ki, hogy vesszük az összes páros számot 102ig (ebből 51 van), és levonjuk ebből azokat, amik oszthatók 3mal, ezek pontosan a 6tal osztható számok (ezekből 102/6=17 darab van), tehát olyan páros számból, ami nem osztható 3mal 51-17 =34 darab van.

Azokat a számokat, amik oszthatók 3mal, de páratlanok, hasonlóan számoljuk össze: vesszük az összes 3mal osztható számot 102ig (102/3=34), és ebből levonjuk azokat, amik oszthatók 3mal (ami a páratlanság miatt pont azt jelenti, hogy 6tal osztva 3 maradékot ad, 3= 3+0*6, 9= 3+6, 15= 3+6*2,.., 99= 3+6*16, tehát ebből is 17 darab van) ez összesen 34-17=17

Tehát összesen 34+17=51 ilyen lépcső van.

Sajnos én terjengősebben írtam össze, lehet hogy ez zavaró, de mégis leírom, mert hátha jól jön. Képet már nem merek rajzolni, mert gondolom holnapra kell, így arra már nem lesz idő. Szóval a válaszom:

Eddig nagyon jó, gratulálok a gondosságodhoz és a pontosságodhoz. Nézzük akkor a kérdéseket:

* Hány lépcsőfok van, amire Gabi ráhág, de Zsuzsi nem? (Azok a páros számok, amik 3-mal nem oszthatók)

* Hány lépcsőfok van, amire Zsuzsi ráhág, de Gabi nem? (Azok a 3-mal osztható számok, amelyek nem párosak)

Azt önmagában könnyen kiszámíthatjuk, hány lépcsőfokra lépett Gabi. Azt is könnyen kiszámíthatjuk, hány lépcsőfokra hágott Zsuzsi. A baj csak az, hogy nem elegendő az, ha Gabi lépcsőfokainak számából egyszerűen levonom Zsuzsi lépcsőfokainak számát (vagy fordítva). Sajnos ilyen egyszerűen nem lehet kiszámolni: az a baj, hogy vannak olyan lépcsők is, amire Gabi is meg Zsuzsi is ráhágott, ezek pedig bezavarhatnak a képbe. Valahogy ezeket kellene számon tartanunk.

Azok a lépcsőfokok zavarhatnak bele a képbe, amelyekre Gabi is és Zsuzsi is egyaránt rálépett: azok a számok, amelyek párosak ÉS EGYÚTTAL 3-mal is oszthatóak.

Ezek éppen a 6-tal osztható számok. Mert hát ha egy szám páros, akkor azt azt jelenti, hogy kettővel osztható, de ha egyúttal 3-mal is osztható, az már azt jelenti, hogy egyszerre osztható 2-vel is és 3-mal is. Vagyis 2 és 3 szorzatával is osztható, vagyis 6-tal.

Fordítva is igaz a dolog: a 6-tal osztható számok biztosan párosak is egyben, és az is biztos, hogy 3-mal is oszthatóak.

Mivel mindkét irányban megy a dolog, ezért elmondhatjuk:

Ha azt mondom, ,,6-tal osztható'', az ugyanaz, mintha azt mondanám: ,,kettővel is és hárommal is osztható''.

Úgy is elmondhatnám mindezt a történet nyelvén:

Dorka, Gabi, és Zsuzsi következő alkalommal elhozza játszani a kutyát is. A kutya 6-osával ugrál fel a lépcsőn sáros tappancsaival.

A kutya épp azokat a lépcsőfokokat sarazza össze, amire Gabi is, Zsuzsi is rálépett. (A 6-tal osztható számok ugyanis párosak is, és 3-mal is oszthatóak).

A kutya nem hág rá olyan lépcsőre, amire Gabi nem (ha egy szám nem páros, az nem lehet 6-tal osztható).

A kutya olyan lépcsőre sem hág rá, amire Zsuzsi nem (ha egy szám nem osztható 3-mal, akkor 6-tal sem lehet osztható).

Viszont a kutya Gabi és Zsuzsi ,,közös'' lépcsőfokai közül egyet sem hagy ki (ha egy szám 2-vel is és 3-mal is osztható, akkor 6-tal is biztosan).

A kutya tehát pontosan Gabi és Zsuzsi közös lépcsőfokait jelöli meg, azokat mind, és semmi mást nem. Nem hagy ki, de nem is jelöl pluszban. Éppen a közöset jelöli ki, pontosan.

A kutyát nem véletlenül ,,hívtam meg a toronyba'', mert éppen az ő segítségével felelhetünk végre az eredeti kérdésekre. Szóval most jön a lényeg, végre felelhetünk a kérdésekre:

1) Hány lépcsőfok van, amire Gabi ráhág, de Zsuzsi nem?

2) Hány lépcsőfok van, amire Zsuzsi ráhág, de Gabi nem?

Mivel a kutya PONTOSAN a KÖZÖS lépcsőfokokat sarazza meg (azokat mind, de semmi mást nem), ezért ugyanezeket a kérdéseket így is megfogalmazhattuk volna:

1) Hány lépcsőfok van, amire Gabi ráhág, de a kutya nem?

2) Hány lépcsőfok van, amire Zsuzsi ráhág, a kutya nem?

Nézzük az elsőt:

Hány lépcsőfok van, amire Gabi ráhág, de a kutya nem?

Gabi lépcsőfokainak száma: 51, tehát ennyi páros lépcsőfok van (hogy ez hogy jött ki, kicsit később leírom külön).

A kutya összesározott lépcsőfokainak száma: 17 (majd később ezt is kifejtem), ezek tulajdonképpen éppen Gabi lépcsői közül vannak ,,kiválasztva'' (a kutya nem lépett egyetlen ,,nemgabis'' lépcsőre sem).

Tehát Gabi ,,tiszta'' (nemkutyás, nemsaras) lépcsőfokainak számát nyugodtan kiszámíthatjuk úgy, hogy Gabi lépcsőinek számából (51) egyszerűen csak levonjuk a sáros-kutyatappancsos lépcsők számát (17), hiszen a kutya csak Gabi lépcsői közül sarazott. 51 - 17 = 34, tehát összesen harmincnégy nemkutyás lépcsőre lépett Gabi.

Egyúttal, ha a kérdés eredeti megfogalmazást használjuk, ez azt is jelenti, hogy ugyanennyi, vagyis 34 olyan lépcsőfok van, amire Gabi ráhág, de Zsuzsi nem.

Nézhetjük a második kérdést:

Hány lépcsőfok van, amire Zsuzsi ráhág, de Gabi nem?

Zsuzsi lépcsőfokainak száma: 34, tehát ennyi 3-mal osztható lépcsőfok van (hogy ez hogy jött ki, kicsit később leírom külön).

A kutya összesározott lépcsőfokainak száma: 17, ezek tulajdonképpen éppen Zsuzsi lépcsői közül vanak ,,kiválasztva'' (a kutya nem lépett egyetlen ,,nemzsuzsis'' lépcsőre sem).

Tehát Zsuzsi ,,tiszta'' (nemkutyás) lépcsőfokainak számát nyugodtan kiszámíthatjuk úgy, hogy Zsuzsi lépcsőinek számából (34) egyszerűen csak levonjuk a sáros-kutyatappancsos lépcsők számát (17), hiszen a kutya csak Zsuzsi lépcsői közül sarazott. 34 - 17 = 17, tehát összesen tizenhét nemkutyás lépcsőre lépett Gabi.

Egyúttal, ha a kérdés eredeti megfogalmazást használjuk, ez azt is jelenti, hogy ugyanennyi, vagyis 17 olyan lépcsőfok van, amire Zsuzsi ráhág, de Gabi nem.

Tehát a két érdésre a válasz:

Zsuzsis nemgabis lépcsők: 34

Gabis nemzsuzsis lépcsők: 17

A két számot nyugodtan összeadhatjuk, mert nincs a kettő között ,,átfedés'', vagyis nyilvánvalóan nincs és nem is lehet olyan lépcső, ami egyszerre lenne ,,gabis nemzsuzsis'', és egyúttal ,,zsuzsis nemgabis'' is. Tehát, ha a 34-et és a 17-et öösszeadjuk, épp azokat a lépcsőknek a számát kapjuk meg, amelyek vagy gabis-nemzsuzsisak, vagy pedig zsuzsis-nemgabisak. Vagyis amelyelre Gabi és Zsuzsi közül az egyik rálépett, de mindketten nem.

Mivel Dorka minden lépcsőfokra rálép, ez az összeg (34 + 17 = 51) éppen a feladat eredeti fő kérdését válaszolja meg.

* * * * * * * *

Ígértem még, hogy megmondom, honnan jött ki az, hogy Gabi hány lépcsőre lépett rá. Zsuzsi hány lépcsőre lépett rá. A kutya hány lépcsőre lépett rá.

Úgy érdemes kiszámolni az egyes feltételeket, hogy először néhány, a 102-nél kisebb számra próbálom ki a dolgot. Például egy 10-lépcsős toronynál hogy nézne ki a dolog?

Dorka:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gabi

2 4 6 8 10

Zsuzsi

3 6 9

Kutya

6

Nézzük meg 7-lépcsős toronyra is

Dorka

1 2 3 4 5 6 7

Gabi

2 4 6

Zsuzsi

3 6

Kutya

6

A vicc kedvéért kétlépcsős és egylépcsős toronyra is

Kétlépcsős:

Dorka

1 2

Gabi

2

Zsuzsi

-

(Ő egy lépcsőre sem tud rálépni)

Kutya

-

(Ő sem tud egyetlen lépcsőre sem tud rálépni)

No most már megpróbálhatjuk megsejteni a szabályt.

Szóval a torony lépcseinek a számát elosztjuk 2-vel (Gabi), vagy 3-mal (Zsuzsi), vagy 6-tal (kutya). Ha nem osztható, akkor lefelé kerekítünk, másszóval: a torony lépcseinek számából elveszünk annyit, hogy osztható legyen, és osztunk.

Pl 10-lépcsős torony:

Gabi 10 / 2 = 5

Nézzük meg fönt az előbb: tényleg öt lépcsőfok jött ott is ki: 2 4 6 8 10

Az érdekesebb az Zsuzsi esete lesz. 10 nem osztható 3-mal, de 9 már igen, 9/3 = 3. Szóval összesen három lépcsőfokra léphet Zsuzsi? Ellenőrizzük: 3 6 9, tényleg.

Kutya: 10 6-tal nem osztható, vegyünk kevesebbet, 9 sem osztható 6-tal ... 7 sem, de 6 már igen , 6 / 6 = 1. És tényleg épp egyetlenegy lépcsőfpkra lép rá a kutya (a 6-osra).

7-lépcsős torony:

Gabi: 7 nem osztható 2-vel, de 6 már igen, 6 / 2 = 3, vagyis eszerint a hétlépcsős toronyban összesen három lépcsőfokra hág Gabi, ellenőrizzük: 2 3 6, tényleg három lépcsőfokra hát Gabi, ez is stimmel.

Zsuzsi: 7 nem osztható 3-mal, de 6 már igen, 6 / 3 = 2, vagyis eszerint a hétlépcsős toronyban összesen két lépcsőfokra hág rá Zsuzsi. Ellenőrizzük: 3 6, szóval tényleg összesen két lépcsőfokra hág rá Gabi, ez stimmel.

Kutya: 7 nem osztható 6-mal, de 6 már igen, 6 / 6 = 1, vagyis eszerint a hatlépcsős toronyban összesen egyetlenegy lépcsőfokra hág rá a kutya. Ellenőrizzük: 6, tényleg összesen egyetlenegy lépcsőfokra hághat rá a kutya, ez is stimmel.

No most már nézhetjük a 102-lépcsős tornyot:

Gabi:

102 osztható kettővel, 102 / 2 = 51, tehát összesen ötvenegy lépcsőfokra hág Gabi.

Zsuzsi:

102 osztható 3-mal is, 102 / 3 = 34, tehát összesen harmincnégy lépcsőfokra hág Zsuzsi.

Kutya:

102 osztható 6-tal is, 102 / 6 = 17, vagyis összesen tizenhét lépcsőfokra hág rá a kutya.

A kutya 6-osával ugrált fel a lépcsőn sáros tappancsaival.A gondnok mérges lesz, és a lányoknak le kell takarítaniuk. Hány lépcsőfokról kell leszedniük a sarat? No hát ez a 17.

Fel is sorolom őket:

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102

tényleg összesen tizenhét lépcsőfok.

17 jött ki nekem is...mondjuk én nem számolgattam annyit, hanem felrajzoltam 12 lépcsőfokot és különböző színekkel megrajzoltam azokat amelyekre rálépnének. Már 12 lépcsőfoknál is látszott, hogy mindhárman csak minden 6-ik lépcsőfokra lépnek rá. Ezek után csak elosztottam a 102-t 6-tal és kijött a 17.

Tudom, hogy már későn írtam, mert már megvan a helyes válasz, de csak azért gondoltam, hogy beírom, hogy lásd, hogy a matek nem mindig csak a számigálásról meg a képletekről szól.

Színekre én is gondoltam, sőt, már három hete csinálok egy grafikus könyvtárat, amivel könnyen lehetne mindenféle matek ábrát szemléltetni (színek, alakzatok, mozgás). Sajnos még nem vagyok teljesen kész vele, ezért az ábrát most kihagytam, pedig általában én is szeretem őket.

A 17 azonban nem közvetlenül a válasz, hanem csak az egyik köztes eredmény (igaz, a legfontosabb köztes eredmény).

Dorka minden egyes lépcsőfokra rálép. Ezért, amikor a feladat azt írja, hogy ,,azok a lépcsőfokok, amikre pontosan ketten lépnek rá'', azt úgy kell érteni, hogy hát Dorka úgyis mindegyikre rálép, tehát Dorkán kívül már csak Gabi vagy Zsuzsi közül pontosan az egyik léphet rá még. Éppen ez a ,,pontosan ez egyik'' fogalom az, amit elég nehéz lefordítani a matek nyelvére, pont ez a feladat lényege. Épp ezért kellett segítségül hívni a kutyát, aki pedig nem is szerepel az eredeti feladatban. Az igaz, hogy egy színes ábra jól jön még ide.

A lényeg az, hogy ha megnézzük azokat a lépcsőket, amikre Gabi is ÉS Zsuzsi is rálép, akkor ez alapján a köztes eredmény alapján már könnyű kiszűrni azokat a lépcsőket, amikre Gabi és Zsuzsi közül pontosan ez egyik lép rá (vagyis legalább egyikük igen, de mindkettejük nem).

Vagyis a végeredményt a csillagok alá írtam (17 + 34 = 51), nem a hozzászólásom végére, a hozzászólásom végén csak megjegyzések, köztes eredmények vannak.

A lényeg:

A megoldás = nemzsuzsis gabis + nemgabis zsuzsis

(itt kihasználjuk, hogy a kettő közt nincs átfedés, ha lenne, nem szabadna csak úgy összeadni őket)

Nemzsuzsis gabis = gabis - közös

(itt kihasználjuk, hogy a közös lépcsők csak a gabisak közül lehetnek, ha nem így lenne, nem szabadna csak úgy kivonni őket)

Nemgabis zsuzsis = zsuzsis - közös

(itt kihasználjuk, hogy a közös lépcsők csak a zsuzsisak közül lehetnek, ha nem így lenne, nem szabadna csak úgy kivonni őket)

Közös = kutyás

Gabis = 102 / 2 = 51

Zsuzsis = 102 / 3 = 34

Kutyás = 102 / 6 = 17

Szóval a megoldás: (51 - 17) + (34 - 17) = 34 + 17 = 51