Ha koordináta rendszerben megvan adva egy egyenes (jelen esetben y=x+2) h bírom kiszámolni a tőle 3√2 lévő egyenes egyenletét?

Attol fugg balra vagy jobbra, ugyanis 2 ilyen egyenes van.

Rajzold fel az egyenest:

x=-2-ben metszi az x tengelyt. Jeloljuk ezt a pontot T-vel.

Namost rajzold be a masikat, mondjuk azt ami balra van tole.

Ennek a meredeksege is 1 lesz, tehat ugy fog kinezni, hogy y=x+a valamilyen a-ra. Nevezzuk ezt az egyenest f-nek.

A T pontbol rajzolj merolegest f-re.

Jeloljuk S-sel a pontot ahol ez a meroleges metszi az f-et.

Tovabba jeloljuk Z-vel ahol az e egyenes metszi az x tengelyt.

Nezd meg a TSZ haromszoget:

az S pontban derekszoge van, a T meg a Z pontban meg 45 fokos szoge.

Tovabba a TS az 3√2 hosszu.

Akkor viszont az SZ is 3√2 hosszu.

Ezutan Pitagorasz tetellel a TZ tavolsag = 6.

Tehat balra a T-tol 6 egysegre metszi az x tengelyt, ami nem mas mint x=-8

Akkor az f egyenes egyenlete:

y=x+8

Hasonlo gondolatmenettel a jobbra levo egyenes meg 6 egyseggel jobbra fogja metszeni, vagyis az x=4-ben, igy ennek az egyenlete meg az lesz, hogy:

y=x-4

Altalaban az e:y = mx+b egyenes milyen tavol van az f:y=mx+c egyenestol? (m≠0)Jeloljuk ezt a tavolsagot D-vel.

Nyilvan ez a D a leheto legkisebb tavolsag amit egy f-beli es egy e-beli pont kozt lehet merni.

e az y tengelyt a (0, b) pontban metszi.

Ettol az f egy adott (x, mx+c) pontja d(x) tavolsagban lesz.

Pitagorasz tetel szerint:

d(x)^2 = x^2 + (mx+c-b)^2 = (m^2+1)x^2 + 2(c-b)mx + (c-b)^2

Ennek a parabolanak a minimuma a csucspontjaban van:

x=-2(c-b)/2(m^2 +1)=(b-c)/2(m^2+1) pontban.

A ket egyenes kozti tavolsag negyzete tehat:

D^2 = (m^2+1)[(b-c)/2(m^2+1)]^2 + 2(c-b)m(b-c)/2(m^2 +1) + (c-b)^2 = (b-c)^2/4(m^2+1) -4m(b-c)/4(m^2+1)+ (c-b)^2

D^2 = (b-c-4m)(b-c)/4(m^2 +1) +(c-b)^2

Ezek utan ha D adott, eleg ide behelyettesiteni, az m es b ertekekkel egyutt, es kapunk egy masodfoku egyenletet c-re.

Ennek persze ket megoldasa lesz, egy az eredeti egyenestol balra, egy pedig jobbra az eredeti egyenestol, illetve linaris fuggvenyekrol leven szo, az egyik alatta, a masik felette.

ha adott egy X terület, akkor melyik háromszögnek van a legkisebb területe? (akkor ha szabályos háromszög nemlehet)

Ha adott egy terulet, akkor mindnek ugyanaz a terulete.

Az egyik terulet az gondolom kerulet akar lenni, a masik meg terulet.

Hat ez egy olyan kerdes, mint az, hogy melyik a legkisebb nemnegativ valos szam, ha 0 nem lehet.

Ennek a haromszoges kerdesnek akkor van csak megoldasa ha van meg valami megszoritas.

Pl: egy haromszog kerulete 1021cm, az oldalai mind egesz hosszusaguak, ezek kozul melyiknek minimalis/maximalis a terulete?

Itt mivel minden oldal csak eges lehet, veges sok haromszog lehetseges csak, biztos lesz minimalis illetve maximalis teruletu haromszog, legkisebb es legnagyobb esetleg nem (lehet holtverseny).

A forditott kerdes detto ugyanaz, ha nem lehet specialis haromszog: szabalyos vagy elfjulo (mindharom pont egy egyenesen van), akkor az altalanos esetben nincs megoldas.

Olyan ez, mint az a kerdes, hogy melyik legnagyobb prim. Ha mutatsz egyet, hogy az a legnagyobb, mindig lehet egy nagyobbat mutatni.

Hasonloan, ha a haromszog nem lehet specialis, annyit be lehet bizonyitani, hogy lehet szelsosegesebbet mutatni.