Matekházi megoldás? Illetve a számolás menete!

Úgy tűnik, nem tudod, mi az a részhalmaz. A másodiknál az a) feladat ugyanis nagyon egyszerű lenne egyébként.

Az A halmaz részhalmaza B-nek, ha A minden eleme eleme B-nek is. B-nek lehet több eleme is, de az is elég, ha csak ugyanazok az elemei.

Tehát pl. ha A={2;3} és B={2;3;4}, akkor A részhalmaza B-nek. Ha C={2;3} akkor is A részhalmaza C-nek. Ha D={1;2;4;5}, akkor A nem részhalmaza D-nek, mert A-nak van egy eleme (3), ami nem eleme D-nek.

Úgy szokták jelölni, hogy A ⊂ B (A részhalmaza B-nek)

Szóval az a) feladatnál B ⊂ A, B ⊂ C, és a D halmazzal is van valami, de azt próbáld te magad kitalálni.

b) feladatnál F ⊂ H az egyértelműen igaz, és mivel a trapézok is négyszögek, ezért G ⊂ H is igaz. Ha picit belegondolsz, azt is beláthatod, hogy a trapéz egyik speciális esete éppen a derékszögű négyzet, vagyis F ⊂ G is igaz.

Az első feladat az már viszont jó bonyolult.

Először még néhány halmazos jelölés:

A\B az a halmaz, amely A azon elemeit tartalmazza, amik nem elemei B-nek. Vagyis A-ból kihagyjuk B elemeit. (különbséghalmaz)

AUB az a halmaz, amely A és B összes elemét tartalmazza (unió)

A∩B az a halmaz, amely A és B közös elemeit tartalmazza (metszet)

Az első feladatnál az AUB)B-t azt hiszem, picit elírtad, ezek lennének, amiket tudunk:

H = {1;2;3;4;5;6}

A ⊂ H, B ⊂ H, C ⊂ H

(a) A ∩ B = {2}

(b) (A U B) ∩ C = {5;6}

(c) A\C = {2;3;4}

(d) C\B = {1;5}

(c) miatt tudjuk, hogy C-nek nem eleme 2 3 és 4

(d) miatt viszont C-nek eleme az 1 és az 5

Kérdés még, hogy a 6 eleme-e C-nek. Ez (b) miatt igaz kell legyen. Vagyis C = {1;5;6}

(d) miatt B-nek eleme a 6, (a) miatt a 2 is, tehát B legalább {2;6}, de lehet, hogy több eleme is van. Az viszont (d) miatt tuti, hogy 1 és 5 nem elemei B-nek.

Vagyis B={2;3?;4?;6} (ez nem szokásos jelölés, csak most találtam ki, de azt hiszem érthető)

(a) miatt A-nak eleme kell legyen a 2, a (b) miatt az 5 is. (c) miatt a 3 és 4 is eleme. Tehát legalább {2;3;4}, de lehet több is. (a) miatt viszont a 6 biztos nem eleme, (b) miatt pedig az 1 nem lehet eleme A-nak. Szóval egyedül az 5 a kérdéses.

Mivel viszont mostanra kiderült, hogy az A-nak eleme a 3 és a 4 is, ezért az (a) miatt B-nek ezek nem lehetnek elemei, tehát

B = {2;6}

Mivel pedig B-nek nem lett eleme az 5, ezért (b) miatt A_nak kell eleme legyen.

Tehát a vége az lett, hogy

A={2;3;4;5}

B={2;6}

C={1;5;6}

Jaj, úgy látszik késő van már... A részhalmaz jelölése A⊆B, hiszen amint írtam, az egyenlőség is megengedett. Szóval mindenhol ahol ⊂ szerepel fentebb, ott ⊆ kellett volna.

(A ⊂ B valójában azt jelenti, hogy A valódi részhalmaza B-nek, tehát B-nek van olyan eleme is, ami nem eleme A-nak.)