Igazolja, hogy minden n eleme N esetén n³ + 2n osztható 3-mal!?

Nagyon jó az előző megoldás is, de éppen nemrég kérdezte valaki a teljes indukciót, és ez is egy jó példa arra:

Szóval teljes indukciós bizonyítás:

1) n=1 esetén: n³+2n = 1+2 osztható 3-mal, rendben.

2) feltesszük, hogy n=k esetén igaz a feltevés, tehát k³+2k osztható 3-mal.

3) Nézzük n=k+1-re:

(k+1)³ + 2(k+1) = (k³ + 3k² + 3k + 1) + (2k + 2)

= k³+2k + 3k²+3k+3

Az első két tag a 2) pont miatt osztható 3-mal, az utolsó három szintén osztható, tehát kész vagyunk a bizonyítással.

Az elsőhöz hasonló megoldás

Kis alakítgatás után adódik

n³ + 2n = (n -1)n(n + 1) + 3n

A jobb oldal első tagja három egymást követő szám, ezek közül az egyik biztos osztható 3-mal, a második tag egyértelműen osztható 3-mal, így az összegük is osztható 3-mal.

DeeDee

***********

Elnézést a kérdezőtől, eszembe jutott egy sokadik bizonyítás is, remélem, nem sokallsz be tőle :-)

n³+2n = n(n²+2)

n háromféle lehet:

1) n=3k+0, osztható 3-mal, akkor egyértelmű, hogy n(n²+2) is osztható.

2) n=3k+1, ekkor n²+2 = (3k)²+2·3k + 1+2, ez is osztható

3) n=3k+2, ekkor n²+2 = (3k)²+2·3k·2 + 4+2, ez is osztható