Hogyan kell megszerkeszteni gyök11 hosszú szakaszt?

Egy megoldás

[link]

DeeDee

*******

Még két megoldás

[link]

Az első ábrán látható módszer az itt is többször előfordult x² - y² = n típusú feladat sémáját használja. Van egy olyan érzésem, hogy a gyök(1) csak elírás, és valamilyen 1-gyel kezdődő számot akart írni a kérdező. Mivel bármelyik szám felírható két négyzetszám különbségeként, a fenti módszer mindig alkalmazható.

Pl. gyök(17) szerkesztése esetén az átfogó (17 + 1)/2 = 9, az egyik befogó (17 - 1)/2 = 8, a másik befogó értéke gyök(17).

A második ábra alapja a 11 = 16 - 5 azonosság, vagyis írható

(√11)² = 4² - (√5)²

Az első válaszomban látható szerkesztés a 11 = 9 + 2 azonosságot használja.

(√11)² = 3² + (√2)²

DeeDee

********

Nem tartozik igazán ehhez a témához, csak egy megjegyzés DeeDee fenti válaszához.

A válasz alapvetően tetszik, de ezt írtad benne: "bármelyik szám felírható két négyzetszám különbségeként"

Ez nem teljesen igaz. A 4k+2 alakú számok nem írhatók fel, a többi igen.

4k+0 = (k+1)²-(k-1)²

4k+1 = (2k+1)²-(2k)²

4k+3 = (2k+2)²-(2k+1)²

4k+2 fel nem írhatóságának bizonyítása:

Tegyük fel, hogy mégis felírható, tehát a²-b² = 4k+2

a²-b² = (a+b)(a-b) = (a+b)(a+b - 2b)

Látszik, hogy

- ha a+b páros, akkor a szorzat mindkét tényezője páros, vagyis a számnak osztója a 2²

- ha a+b páratlan, akkor mindkét tényező páratlan.

De mivel 4k+2 = 2(2k+1), ami kettőnek és egy páratlan számnak a szorzata, ellentmondásra jutottunk.

Volt egy olyan érzésem, hogy valaki megakad a bongolo által idézett kitételen. :-)

A bemutatott bizonyítást elismerve, továbbra is tartom az állításomat!

Ugyanis - egyáltalán nem véletlenül - az állításomban nem szerepel, hogy két EGÉSZ szám négyzetének a különbségéről beszélek! :-)

Azzal tisztában vagyok, hogy páros számok esetén a két szám nem egész, de attól a négyzetük különbsége még a megadott szám lesz.

Páros szám esetén írható

x² - y² = 2n

Legyen a két osztó

d1 = 2

d2 = n

akkor

x = (n + 2)/2

y = (n - 2)/2

ezekkel

x² - y² = (n + 2)²/4 - (n - 2)²/4 = 8n/4

vagyis

x² - y² = 2n

tehát x és y megoldása a feladatnak.

Pl. 14 esetén

x = 4,5

y = 2,5

és a négyzetük különbsége 14.

Felmerülhet a kérdés, hol lehet alkalmazni a módszert? A feladatbeli példához hasonlókon kívül szerintem pl. azonos átalakításokra is jó. Hogy egy durva példát említsek: √2 = [(√2 + 1)/2]² - [(√2 - 1)/2]². Azt hiszem, lehetőség van bőven. :-)

DeeDee

************