Hogyan lehet megszerkeszteni gyök 3t? Gyök 2ig még értem, az a négyzetes vagy pithagorasz tételes megoldás, de onnan hogyan tovább?

Például ha szerkesztesz egy egyoldalú szabályos háromszöget, annak a magassága annyi.

De a szép megoldás: megszerkeszted a gyök2-t, azután szerkesztesz egy olyan derékszögű háromszöget, aminek az egyik oldala 1, a másik gyök2. Vagyis ugyanazt csinálod, mint a gyök2 szerkesztésénél, csak az egyik egyest kicseréled gyök2-re.

Ez azért is szép, mert így tudod folytatni a sort: ezután kicseréled a gyök2-t gyök3-ra, akkor gyök4=2 lesz az átfogó, ha ezután megint cserélsz, akkor gyök5, és így tovább.

Tetszőleges √a hosszú szakasz szerkesztése egy lépésben:

Itt egy ábra hozzá:

[link]

pl. √7 szerkesztése a rajz alapján:

- egy egyenesen valahol felveszed a D pontot

- balra felméred rá az egységet, túlsó pont az A

- jobbra felméred az egység 7-szeresét, túlsó pont a B

- az AB szakaszt megfelezed, a felezőpont körül rajzolsz egy A és B-n átmenő kört (Thalesz kör)

- D-ben merőlegeset szerkesztesz az egyenesre, C-ben metszi a kört

a CD szakasz hossza éppen √7.

Ez a szerkesztés a magasságtétel miatt működik: Az ABC háromszög derékszögű (Thalesz tétel), ezért a C-hez tartozó magassága (CD) két hasonló háromszögre bontja. Ezért CD/AD = BD/CD

Esetünkben AD=1, BD=7, ezért CD=7/CD, vagyis CD²=7, CD=√7