Ha adott egy derékszögű háromszög 1 oldala és a kerülete, abból hogy számoljak ki mindent?

Két ismeretlen és két egyenlet. Egyik a Pitagorasz, másik pedig, hogy az oldalak összege egyenlő a kerülettel.

És vigyázz, mert több megoldás lesz aszerint, hogy az 5 centis oldal befogó vagy átfogó.

Érdekes feladat!

Az elején egy megjegyzés

A feladatnak nem lehet több megoldása, mert a megadott adat (a = 5) nem lehet az átfogó.

Az ok: egy derékszögű háromszög oldalai összegének maximális értéke az átfogó √2-szöröse lehet, így a kerület maximális értéke c(1 + √2). Ez a feladat adatával számolva kb. 12 lenne.

Adott

a = 5 - a háromszög egy oldala

K = 20 - a háromszög kerülete

b, c, α, ß = ?

--------------------

A rendelkezésre álló összefüggések

A kerület

K = a + b + c

A Pithagorasz tétel

a² + b² = c²

----------------

Az ismert adatokat egy oldalra rendezve

K - a = b + c

a² = c² - b²

Az első egyenletben legyen

K - a = A

így a két egyenletünk

(1) A = b + c

(2) a² = c² - b²

Az első egyenletet négyzetre emelve

A² = b² + 2bc + c²

a² = c² - b²

A két egyenletet összeadva

A² + a² = 2bc + 2c²

ebből

b = (A² + a² - 2c²)/2c

Az első egyenletbe behelyettesítve

A = b + c = (A² + a² - 2c²)/2c + c

Felbontás, összevonás után

A = (A² + a²)/2c

amiből

c = (A² + a²)/2A

Szintén az első egyenletből a c-t behelyettesítve

b = A - c = A - (A² + a²)/2A

Összevonás, rendezés után

b = (A² - a²)/2A

Visszaírva a A értékét

b = [(K - a)² - a²)/2(K - a)

=====================

és

c = [(K - a)² + a²)/2(K - a)

===================

A háromszög oldalai a képletek alapján

a = 5

b = 20/3

c = 25/3

A szögeket az oldalak ismeretében már könnyedén ki lehet számolni

sinα = a/c

sinß = b/c

DeeDee

**********

Szóval értsem úgy, hogy a tanároddal együtt és is sík hülye vagyok?

Amúgy szívesen látom az egyszerűbb megoldásodat.

DeeDee

*******

Az nagyon jó meglátás, hogy az 'a' nem lehet átfogó. Viszont szerintem is van egyszerűbb levezetés:

a=5

a+b+c=20, vagyis b+c=15

a²+b²=c², vagyis 25=c²-b², ami éppen (c-b)(c+b)

ezekből, c+b helyére 15-öt írva: c-b = 25/15=5/3

Tehát most azt tudjuk, hogy:

c+b=15

c-b=5/3

Ezeket összeadva: 2c = 50/3, vagyis c=25/3

b már gyorsan kijön: b=20/3

Rendben van, a félreértés tisztázva, de nem árt egyértelműen fogalmazni. :-)

Vissza a feladatra

Szöget ütött a fejembe a megjegyzésed, miszerint van egyszerűbb megoldás is...

Újra nekiültem, és némi fejtörés után egy kis geometriai segédlettel összehoztam egy másik megoldást.

A végeredmény ugyanaz, mint az előzőnél, csak ez talán szemléletesebb és rövidebb. :-)

A feladat: a (K - a) hosszúságú szakaszt úgy kell felosztani 2 részre, hogy az egyik szakasz a háromszög átfogója, a másik pedig a hiányzó oldala legyen.

A megvalósítást lásd a következő ábrán:

[link]

Ettől függetlenül várom a megoldásodat.

DeeDee

**********