Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 112. A következő három tag összege pedig 14. Melyik ez a sorozat?

a1+a2+a3=112 |

a4+a5+a6=14 |

----------------------

a1+a1+d+a1+2d=112 |

a1+3d+a1+4d+a1+5d=14 |

----------------------

3a1+3d=112 |

3a1+9d=14 /(-1) |

----------------------

3a1+3d=112 |

-3a1-9d=-14 |(2 egyenletet összeadjuk)

----------------------

-6d=126 |

d=-21 |

>>innen a1= 175/3

>>számsor: 175/3, 37 egész 1/3, 16 egész 1/3,

-4 egész 2/3, -25 egész 2/3, -46 egész 2/3

done.

Tegnap egy mértani sorozatos feladatot megoldottam:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Hasonlóan kellene indulni. Minden felírva a1 és q segítségével, sok mindent ki lehet emelni .....

(1-3. tagok összege): a + aq + aq² = 112

(4-6. tagok összege): aq³ + aq⁴ + a⁵ = 14

Leírom újra, de úgy, hogy amit lehet, kiemelek:

(1-3. tagok összege): a(1 + q + q²) = 112

(4-6. tagok összege): aq³(1 + q + q²) = 14

Tulajdonképpen arról van szó, hogy ott van az az 1 + q + q² kifejezés, aminek az értéke valamilyen szám (még nem tudjuk mennyi, de hát valamennyi, most gondoljunk rá úgy, mint valami ismeretlen, de mégis konkrét számra).

No és ezt a számot, ha a-val szorzom, 112-t kapok, ha viszont ugyanezt a számot nem a-val, hanem helyette aq³-vel szoroznám, akkor meg 14-et kapnék. Ezt mondja a két egyenlet.

Azt meg észrevesszük, hogy 112 éppen 8-szorosa 14-nek, másszóval, 14 az éppen nyolcada 112-nek.

Szóval azt is modhatnám, hogy arról van itt szó, hogy ha az 1 + q + q² számot az ,,a'' érték HELYETT az aq³ értékkel szorzom, akkor EGY NYOLCADAKKORA SZÁMOT KAPOK, mintha az ,a'-val szoroztam volna.

Ez csak úgy lehetséges, hogy maga az aq³ érték is épp nyolcadakkora, mint az ,,a'' érték. Jelekkel:

aq³ = 1/8 a

vagyis

8 aq³ = a

ebből könnyen adódik hogy

q³ = 1/8

Ha ez nagyon érthetetlen volt, ahogy elmondtam, akkor úgy is összefoglalhatom, hogy a két egyenlet közül

(1-3. tagok összege): a(1 + q + q²) = 112

(4-6. tagok összege): aq³(1 + q + q²) = 14

az ,,alsó'' egyenletet ,,elosztom'' a felső egyenlettel:

aq³ / a = 14 / 112

(ugye az a kifejezés, ami mindkét egyenletben megvolt, az ,,kiesett'') [*: kikötést ld a lábjegyzetben],

szóval ebből meg az jött ki

q³ = 1/8

Akár így, akár úgy idáig eljutottunk. A hatványozás azonosságait, vagy az exponenciális függvény tulajdonságait ismerve

q = 1/2

Ezzel már megvan egy fontos dolog. A maradék hiányzó információt, vagyis az ,,a'' értékét már könnyem kiszámoljuk, csak az eddig elért tudást be kell helyettesítenünk valamelyik eredeti egyenletbe

(1-3. tagok összege): a(1 + q + q²) = 112

behelyettesítve azt, amit megtudtunk eddig q-ról, vagyis hogy q = ½, ezt kapjuk

a(1 + ½ + (½)²) = 112

a zárójelben már kiszámolható mennyiség áll

a (7/4) = 112

ebből már kijön az ,,a'' értéke is:

a = 64

Szóval a sorozat: 64, 32, 16

(eddig az első három tag, összegük 112)

és 8, 4, 2 (ez a következő három tag, összegük 14)

__ _ _ _ _ _ _ _

[*]: hacsak nem éppen az a szerencsétlen helyzet adódik, hogy épp nulla lenne az 1 + q + q² értéke, de ezt könnyű belátni, hogy ez nem lehetséges

[link]

Én is elkezdtem számolgatni... és lenne egy kérdésem

kiszámoltam a 2dik tagot úgyhogy az jelölöm x-el.

x/q+x+xq=112 --> 3x=112 --> x=112/3

ugyanúgy a 4dik tagot is.

y/q+y+yq=14 --> x=14/3

a 2dik elemből megkaphatom a 4dik elemet ha q3 szorzom

112/3 * q3 = 14/3

q3=1/8

q=1/2

A kérdés: Miért jött nekem ki jól a q értéke de a 2dik és a 4dik elem mégsem jó, az előző hozzászóló megoldása alapján? Én vettem észre mit hibáztam volna.

Mértani sorozatnál nem megy ez a trükk:

x/q+x+xq=112 --> 3x=112 --> x=112/3.

Itt q "nem esik ki", ha meg végigszorzod q -val , visszajutottál oda ..

A hiba ott van, hogy x/q + x + xq az nem 3x, szóval ilyen értelemben ,,nincs kiejtegetés'', szóval ez a gondolt összefüggés így nem igaz, ezért a második és negyedik tag értéke rosszul jött ki.

A zsenialitás meg ott van, hogy az viszont igaz, hogy

a₁ + a₂ + a₃ = q³(a + a₂ +a₃)

sőt, ez általában is igaz, szóval pl

a₁₁ + a₁₂ +a₁₃ = q¹⁰(a₁ + a₂ + a₃)

szóval az a lényeg, hogy ha veszek egy ilyen rész-összeget, mondjuk három egymás követő tag összegét, és aztán nézek egy ,,eltolt'' részösszeget, szóval nézem a ,,tízzel arrébb'' következő három egymást követő tag összegét, akkor az a ,,tízzel eltolt'' részösszeg épp q¹⁰.szerese lesz az eredeti részösszegnek.

Te pedig a q-ra vonatkozó számításaidban tulajdonképen éppen ezt az (igaz) összefüggést használtad ki (3-as ,,eltolásra''):

a₄ + a₅ + a₆ = q³(a₁ + a₂ +a₃)

Ez egy nagyon szép képlet, és gratulálok hozzá, ez szebb, mint az enyém volt. (Most a /3-mal való osztástól eltekintek, mert az fölösleges, mindenesetre mivel következetesen mindkét oldalon használtad,ezért ez a hiba pont kiejtette egymást, így a lényeget nem zavarta, szóval a q értéke helyesen kijött.)

Az a lényeg, hogy a gondolatmeneted jó, csak az második és a negyedik TAG összehasonlítása HELYETT azt kell képzelni, hogy az 1-2-3 tagok RÉSSZÖSSZEGÉT hasonlítjuk össze az ehhez képest 3-mal eltolt részösszeggel (vagyis a 4-5-6 tagok részösszegével).

Tehát nem a ,,csoportok'' középső tagjait vetjük össze egymással, hanem a csoportok ,,részösszegét''.

Második bekezdés képletét elgépeltem, szóval helyesen

a₄ + a₅ + a₆ = q³(a₁ + a₂ +a₃)