Matematika holnapra. Segítség?

Két könnyítés eszembe jutott:

1)

Én azt használtam ki, hogy a visszaút ugyanolyan hosszú távolság, mint az odaút. Ez volt az a fő gondolat, amit már meg lehetett fogalmazni egyenlet alakjában.

2)

A várakozási időt ,,ki lehetett ollózni'', és a feladatot képzeletben átfogalmazni úgy, mintha Peti rögtön sarkonfordult volna a nagymamánál. Így a feladatot immár egyszerűsített formában lehetett megoldani, a megoldás pedig ugyanaz (hiszen a feladat az útra kérdezett rá, de ha az időkre kérdezett volna rá, az se lett volna gond, mert a ,,visszaollózást'' könnyű elvégezni szükség esetén).

Nyilván a kilenc órát, mint induló időt automatikusan ,,kiollózza'' az ember, mintha az valami nullidő lenne, és mindent eleve ehhez mérünk (Peti stopperral indul, induláskor a stopper 0-t mutat, és 5 óra 42 perc, vagyis 5,7 óra múlva ér haza). Itt azonban még egy plusz csavart is teszünk ehhez a kézenfekvő trükkhöz: előre ,,kivágjuk'' a VÁRAKOZÁSI IDŐT is, szóval Peti indulásától számítunk, odaér, RÖGTÖN FORDUL IS SARKON, és **4 ÓRA 12 PERC** múlva, vagyis (4,2 órakor) ér haza.

Azt még továbbra se tudjuk, hogy mennyi a távolság, de már könnyen adódik az egyenlet:

ODAÚT: 20 km/h sebességgel halad valamilyen ismeretlen ideig

VISSZAÚT: 22 km/h sebességgel jön hazafelé, szintén valami ismeretlen ideig, de azt tudjuk, hogy a két idő, az odaút és a visszaút ideje együtt 4,2 óra.

Mondjuk jelöljük t-vel a visszaút idejét (máshogy is lehet, de így picit könnyebb számolni), ekkor az odaút idejét a 4,2 - t kifejezés képviseli. Igazából más szereposztás szerint is megválaszthatjuk a t jelölés jelentését, az a lényeg, hogy az odaút idejét jelölő kifejezés (itt most t) és a visszaút idejét jelölő kifejzés (itt most 4,2 - t) együtt épp a teljes menetidőt adja (4,2), hiszen a menetidőből gondosan kiollóztuk a tétlen várakozás idejét.

Az egyszerűsített feladat egyenlete:

22t = 22(4,2 - t)

hiszen a visszautat 22km/h sebességgel teszi meg, az odautat meg 20km/h sebességgel. Az egyenlet tehát tényleg csak annyit mond, hogy vissza se nem hosszabb, se nem rövidebb az út, mint oda, szóval távolságban ugyanannyi. A különböző menetidők (1: az odaúté, 2: a visszaúté), és a hozzájuk tartozó különböző sebességek ugyanolyan utakat eredményeznek, ez a fő gondolat (odaút sebesssége az odaút menetideje alatt ugyanazt a távolságot adja, mint a visszaút sebessége a visszaút menetideje alatt).

Az egyenletben a jelölést végül úgy választottam meg, , hogy t jelöli a VISSZAút idejét(órában), és az odaút idejét meg jelölje a 4,2 -t kifejezés. Nyugodtan megválaszthattuk volna a t jelölést a fordított szereposztás szerint is, de egy icipicit akkor csúnyább lenne a számolás ennél a konkrét példánál.

Figyelni kell még rá, hogy a az óra-perc adatokat át kell számolni tizedestörtté, és ez kicsit furcsán néz ki első pillantásra (azt még könnyű látni, hogy másfél óra az 1,5, de a 5h:42m is átíródik 5,7-té, a 4h:12 perc pedig 4,2-vé). Különösen könnyű lehet eltéveszteni ezt, ha egy egy ,,rosszindulatúan'' ,,ravasz'' példában nem úgy adják meg a mértékegységeket, hogy azok a sebesség-út-idő átváltást gondolkodás nélkül lehetővé tegyék. Itt nincs ilyen gond, csak arra kell ügyelni, hogy ha a kilométer/óra értékekhez az órák számát viszonyítsam, vagyis a percadatokat is következetesen órába átszámítva használjam fel.

No így már kijön egy időadat, jelen esetben a visszaút ideje, és persze ad odaút ideje is könnyen adódik ebből (hisz a két idő együtt adja a teljes menetidőt). Mivel a két menet sebességét is ismerem, ezért a távolságot akár az odafelé-sebesség és az odafelé-menetidő révén, akár a visszafelé-menetidő és a visszafelé-sebesség révén kiszámolhatom. (Ha esetleg mégsem adná ugyanazt a két számolás, az valami előzetes számolási hibára utal.)

Az előbb elgépeltem a fő egyenletet

22t = 20(4,2 - t)

szóval ez a helyes.

Először a feladathoz tartozó grafikon készítettem el, Itt ennél a példánál az idő-út grafikon jól használható volt. Az a trükk, hogy a eleve kiollóztam a várakozás idejét, és csak a ,,nettó'' menetidővel számoltam eleve, az úgy jelent meg szemléletesen, mintha egy trapéz ,,közepéről'' ,,kivágnám'' a téglalapot, és a trapéz ,,megmaradt'' két ,,szárnyát'' ,,összetolnám'' háromszöggé. Az így egyszerűbbé vált ábráról már jól le lehetett olvasni az egyenletet, pontosabban az alapötletet.