Mely pontjait kell vizsgálni a függvénynek?

Inkább erre gondolsz, nem?

(x^2)/(x+7)

Mert azért nem mindegy!

A kikötést sem értem teljesen. Az oké, hogy x ≠ -7, de más feltétel nincs, szóval mit jelent ez, hogy x = 0?

Egyébként ez a függvény már maga a 2. derivált lenne? Mert akkor az f(x) nem egy egyszerű függvény!

Szerintem arról van szó, hogy ez csak az f(x), és ezt kellene neked kétszer deriválni.

f'(x) = (x*(x+14))/(x+7)^2

f''(x) = 98/(x+7)^3

A konvex-konkáv vizsgálathoz az f''(x)-et kell vizsgálni, méghozzá hogy mikor milyen előjelű.

Mivel a 98 konstans pozitív, így tulajdonképpen azt kell vizsgálni, hogy (x+7)^3 mikor milyen előjelű.

Az is könnyen belátható, hogy végtére is azt kell vizsgálni, hogy x+7 mikor milyen előjelű.

Ha x<-7 => f''(x) negatív => f(x) konkáv

Ha x>-7 => f''(x) pozitív => f(x) konvex

Ez alapján egyébként még nem tudod felrajzolni a függvényt, kellenének a lokális szélsőértékek és a határértékek is.

Hát, ha tényleg ez van megadva 2. deriváltnak, akkor egy ilyesmi függvényből indultak ki:

1/6 * (x * (x^2 - 21 * x - 735) + 294 * (x + 7) * log(x + 7)) + K * x + C

Na most ugye tök jó, hogy meg tudod mondani egy ilyen függvényről, hogy hol konvex és konkáv, csak semmi gyakorlati jelentősége nincs, mert nem is ismered az alapfüggvényt. (Jó, most már ismered, de ezt azért nem kellemes meghatározni, én is programmal csináltam.)

De persze a meghatározás ugyanaz, csak akkor így kell venni:

f''(x) = (x^2)/(x+7)

x^2 mindig pozitív, így csak az x+7-et kell vizsgálni az előjel szempontjából.

Ha x < -7 => f''(x) negatív => f(x) konkáv

Ha x > -7 => f''(x) pozitív => f(x) konvex