Az ABCD négyzet alakú telek sarkaiban áll egy-egy ház, a telek belsejében van egy F forrás. Tudjuk, hogy az A épület 1 km-re, a B épület 2 km-re, a C épület pedig 3 km-re van a forrástól. Hány km-re van a forrástól a D épület?

Csinos kis feladat! :-)

Az egyszerűség végett legyen

a telek A pontja a koordináta rendszer origójában(O),

a telek oldalhossza 'a', így a többi sarok koordinátái:

B(a; 0), C(a; a), D(0; a),

a forrás (F) koordinátái pedig legyenek x éx y

Adott

AF = 1 km

BF = 2 km

CF = 3 km

DF = ?

A három megadott adattal fel lehet írni 3 egyenletet

x² + y² = 1

(a - x)² + y² = 4

(a - x)² + (a - y)² = 9

A másodikból kivonva az elsőt

(a - x)² - x² = 3

A harmadik egyenletből kivonva a másodikat

(a - y)² - y² = 5

A két utóbbi egyenletben elvégezve a műveleteket, összevonás után marad

a² - 2ax = 3

a² - 2ay = 5

Az elsőből

x = (a² - 3)/2a

a másodikból

y = (a² - 5)/2a

Ezeket visszahelyettesítve az első kiinduló egyenletbe

x² + y² = 1

(a² - 3)²/4a² + (a² - 5)²/4a² = 1

Mindkét oldalt szorozva 4a²-tel

(a² - 3)² + (a² - 5)² = 4a²

az

a² = n

helyettesítéssel az egyenlet

(n - 3)² + (n - 5)² = 4n

A műveletek elvégzése, összevonás, rendezés után

n² - 10n + 17 = 0

egyenlet adódik, melynek gyökei

n1 = 5 + √8

n2 = 5 - √8

Az első gyök a jó, így

n = 5 + √8

ebből

a = √n = √(5 + √8)

-------------------

tehát ekkora a telek egy oldala.

Ennek ismeretében már számítható az x és y értéke

x = (a² - 3)/2a

ill.

y = (a² - 5)/2a

A számolást mellőzve

x = √2/√(5 + √8)

és

y = (1 + √2)/√(5 + √8)

Ha 't' a forrás távolsága a D csúcstól, akkor

t² = x² + (a - y)²

Minden szükséges adat megvan, a behelyettesítés és a műveletek elvégzése után

t = √6

=====

a feladat megoldása, vagyis ennyire van a D épület a forrástól.

Örülnék, ha volna valakinek egyszerűbb megoldása.

DeeDee

***********

Csak becsúszott egy kis baki: az és y értékeit felcserélve írtam.

Helyesen

x = (1 + √2)/√(5 + √8)

és

y = √2/√(5 + √8)

DeeDee

*******