Valaki segítene a matek házimba?

Ha felrajzolod, az segíteni fog.

annyit gondolj végig, hogy ha egy egyenes (itt az y tengely) érint egy kört, akkor abban a pontban, ahol érinti, ott merőleges lesz a sugár és az egyenes (magyarán ha tudod, hogy érinti az egyenes a kört, akkor az érintési pontot meg tudod úgy kapni, hogy a középpontból merőlegest bocsájtasz az egyenesre)

Ha a tanár arra gondolt, hogy azt szeretné látni, hogy hogyan lehet ,,tisztán'' egyenletekkel kihozni az eredményt, úgy, hogy közben lehetőleg ne használjuk a geometriai tudásunkat, akkor nekem ez jutott eddig eszembe:

A (3; -2) középontú, r sugarú kör egyenlete:

(x - 3)² + (y + 2)² = r²

Itt kénytelen vagyok egyelőre a sugárt csak betűvel jelölni (r), mert nem tudjuk még az értékét, csak reménykedünk benne, hogy majd ki fog jönni. r egyelőre még lehetne 1 is, 2 is, 2,5 is... szóval egyelőre csak az r betűvel jelezzünk hogy mindezt a lehetőséget még számon kell tartanunk. Úgy is gondolhatunk rá, hogy mindig amikor azt írom,

(x - 3)² + (y + 2)² = r²

akkor valójában nem egyetlenegy egyenletre gondolok, hanm egyszerre végtelen sokra:

(x - 3)² + (y + 2)² = 1² /Az 1-sugarú, (3; -2) középpontú kör/

(x - 3)² + (y + 2)² = 2² /A 2-sugarú, (3; -2) középpontú kör/

(x - 3)² + (y + 2)² = 0,1² /A 0,1-sugarú, (3; -2) középpontú kör/

(x - 3)² + (y + 2)² = 312² /A 312-sugarú, (3; -2) középpontú kör/

(x - 3)² + (y + 2)² = 1,234² /Az 1,234-sugarú, (3; -2) középpontú kör/

...

és az r betűvel épp azt jelzem, hogy valójában egy egész egyenletseregről van szó. Úgy lehet elképzelni, hogy a körző tűjét belebököm a (3, -2) pontba, és próbálgatva rendre különböző sugarú köröket rajzolgatok, mindet ugyane körül a közös középpont körül, mintha valami céltáblasort rajzolnék. Az r paraméter ép a ,,céltábla'' koncentrikus körseregének a különböző sugarú egyes köreit jelzi. A feladat pedig épp azt kérdezi, hogy a sok lehetéges kör seregében melyik lesz az, amelyik ,,éppen'' érinti az y tengelyt (tehát nem halad el mellette ,,érintetlenül'', de nem is metszi át, hanem ,,éppen hogy'' csak érinti). Vagy akár úgy is képzelhetem, hogy a (3, -2) pontból kiindulva ,,fújok fel'' folyamatosan egy kört, mint valami buborékot, és figyelem, pontosan mikor érinti meg épp majd az y tengelyt.

Nohát ez lenn az egyik egyenlet, szóval ez a paraméteres egyenlet a kipróbálandó körök elképzelt seregére, ezért van az a kis trükk ott azzal az r sugárral mint paraméterrel, az fejezi ki az éppen aktuális ,,felfúvódását'' az éppen próbált körnek.

De van egy másik egyenlet is: az y tengely egyenlete:

x = 0

ez egy kicsit furcsán néz ki mint ,,egyenlet'', de valójában ez igenis egyenlet, méghozzá egy egyenesnek az egyenlete, sőt éppen magának az y tengelynek egyenlete: ha a sík összes pontja közül képzeletben pirossal jelölöm meg azokat a pontokat, amelyeknek az x koordinátája 0, akkor éppen az y tengely pontjai lesznek azok, amelyek pirosak lesznek, és semmi más nem lesz piros. Ha írnék egy számítógépes programot, amely véletlenszerűen pontokat jelöl ki a képernyőn, de úgy, hogy a pontok közül azokat, amelyeknek éppen 0 az x koordinátájuk, egyben be is pirosítja, akkor hamarosan egy piros egyenes fog körvonalazódni a képernyőn, és ez épp az y egyenes lesz.

Szóval már meg is lenne a két egyenletünk a két-két alakzatra, az egyenesre meg a körre:

kör: (x - 3)² + (y + 2)² = r²

egyenes: x = 0

Most nézzük meg, mit mond még a feladat a két szóbanforgó alakzatról.

Az y tengely ÉRINTI a kört. Mit is jelent az, hogy érinti? Mindenesetre az biztos, hogy ha egy egyenes és egy kör érinti egymást, akkor van közös pontjuk, hiszen pl. éppen az érintési pont az biztos része lesz a körnek is, és az egyenesnek is.

A körnek van egy egyenlete (előbb fel is írtuk), ez az egyenlet éppen azokat azoknak a pontoknak a koordinátáit adja meg, amelyek a kört alkotják.

Az y tengely egyenesének is van egyenlete (azt is felírtuk), ez az egyenlet is éppen azokat azoknak a pontoknak a koordinátáit adja meg, amelyek az y tengely egyenesét alkotják.

Ha meg van közös pontja a két alakzatnak, akkor ez azt jelenti, hogy ez a bizonyos közös pont koordinátái mindkét alakzat egyenletét kielégítik. Vagyis tudjuk: a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszernek BIZTOSAN VAN MEGOLDÁSA (legalább egy).

Vagyis: az alábbi egyenletrendszer biztosan megoldható:

I: (x - 3)² + (y + 2)² = r²

II: x = 0

Ez idáig tényleg tiszta számolás volt, közvetlenül geometriát nem is használtunk. Most egy pillanatra mégis gondoljunk rá a feladat geometriai tartalmára is. Ha egy egyenes és egy kör ÉRINTI egymást, az nemcsak annyit jelent, hogy a két alakzatnak van közös pontja. Egyenesnek és körnek másképp is lehet közös pontja, nemcsak úgy, hogy érintik egymást. Egyenesnek és körnek úgy is lehet közös pontja, hogy az egyenes metszi a kört (két pontban). Ha egy egyenes érint egy kört, akkor csak ez az egyetlenegy közös pontjuk lesz (maga az érintési pont). Olyan nem lehetséges, hogy egy egyenes érint egy kört, aztán még egy másik pontban mégegyszer érinti valahol még. Meg olyan sem lehetséges, hogy egy egyenes érint egy kört, és még valahol másutt metszi is. Szóval egy egyenes az vagy érint egy kört (egyetlenegy pontban), vagy metszi (két pontban), vagy pedig egyáltalán nincs is közös pontjuk.

Szóval a feladat tulajdonképpen azt követeLi meg, hogy a körnek és az y tengely egyenesének PONTOSAN EGYETLENEGY KÖZÖS pontjuk legyen. Se az ne legyen, hogy nincs közös pontjuk, de az se legyen, hogy két közös pontjuk is van. Legyen, de csak egy legyen.

Ebből már látszik, hogy hogyan is lehet átfogalmazni a feladatot tisztán az egyenletek nyelvére: van egy köregyenletünk (pontosabban köregyenleteknek egy egész serege), és van még egy egyenes egyenlete is, és a két alakzatra annak a feltételnek kéne teljesülnie, hogy csak egyetlen olyan pont legyen, amely mindkét egyenletet kielégíti. Vagyis: a két egyenletből álló egyenletrendszernek csak egyetlenegy megoldása legyen.

Szóval:

körök: (x - 3)² + (y + 2)² = r² /itt r helyébe az épp próbált köt sugara értendő/

egyenes: x = 0

és a kérdés az, hogy melyik az az r szám, amelye ennek a fenti az egyenletrendszernek épp pontosan egyetlenegy megoldása lesz.

Az egyenletrendszerrel könnyű elkezdeni a munkát, hiszen a két alakzat közül az egyenes egyenlete olyan egyszerű itt, hogy eleve egyszerűen csak annyit kell tennünk, hogy mindenütt x helyébe eleve a 0 értéket írom:

(0 - 3)² + (y + 2)² = r²

ez az egyenlet az, ami a két alakzat ,,közös'' pontjait adja meg.

Számoljunk tovább:

(0 - 3)² + (y + 2)² = r²

(- 3)² + (y + 2)² = r²

3² + (y + 2)² = r²

(y + 2)² = r² - 3²

Említettem már, hogy az r az tulajdonképpen egy paraméter, tehát valójában úgy kell elképzelni, hogy ez valójában nem egyetlen egyenlet, hanem nagyon sok egyenlet együttes felsorolása:

(y + 2)² = 1² - 3² /ahol az r paraméter épp 1/

(y + 2)² = 2² - 3² /ahol az r paraméter épp 2/

(y + 2)² = 3² - 3² /ahol az r paraméter épp 3/

(y + 2)² = 4² - 3² /ahol az r paraméter épp 4/

...

a kérdés az, hogy ezek közül melyik lesz az, ahol y-ra pontosan egyetlenegy megoldás adódik? Hiszen említettük, hogy a feladat geometriai tartalma épp azt kéri, hogy a két alakzat egyenletéből kapott egyenletrendszernek csak egy megoldása lehessen, se több, se kevesebb.

Hát nézzük például ezt

(y + 2)² = 1² - 3² /vagyis ahol az r paraméter épp 1/

(y + 2)² = 1² - 3²

(y + 2)² = 1 - 9

(y + 2)² = -8

Itt az egyenlet baloldalán valaminek a négyzete áll, a jobboldalán pedig egy negatív szám. Semmilyen számnak a négyzete nem lehet negatív, ezért aztán ennek az enyenletnek biztosan nincs megoldása.

Nézzünk akkor egy másik egyenletet a seregből:

(y + 2)² = 5² - 3² /ahol az r paraméter épp 5/

(y + 2)² = 5² - 3²

(y + 2)² = 25 - 9

(y + 2)² = 16

(y + 2)² = ±4

y₁ = 4, y₂ = -4

Itt meg látjuk, hogy KÉT KÜLÖN MEGOLDÁS IS KIJÖTT. Szóval ez se jó, hisz épp az lenne a cél, hogy CSAK PONT EGYETLENEGY MEGOLDÁS LEGYEN, SE TÖBB, SE KEVESEBB.

Nézzünk még egy egyenletet a seregből:

(y + 2)² = 3² - 3² /ahol az r paraméter épp 3/

(y + 2)² = 3² - 3²

(y + 2)² = 0

(y + 2) = 0

y = -2

No, végre ez az, amit kerestünk: az (x - 3)² + (y + 2)² = r² egyenletseregből a 3-as sugár-értékhez tartozó egyenlet az, amely épp polyan másodfokú egyenlet, amelynek csak egyetlenegy megoldása van. Szóval az r = 3 paraméttere kapom neg a kívánt kört. (Egyébként épp az y = -2 eredmény pedig nem más, mint az bizonyos egyetlenegy közös pont, vagyis az érintési pont, pontosabban annak az y koordinátája, az x koordinátát úgyis tudjuk, hisz az meg persze 0. Ezt persze csak megemlítem, ezt nem kérdezte a feladat.)

Mindezt persze nem kellett volna találgatással keresgélni, kapásból is megkaphattuk volna:

(0 - 3)² + (y + 2)² = r² milyen r paraméter esetén ad olyan másodfokú egyenletet, amelynek egyetlenegy megoldása van?

(-3)² + (y + 2)² = r² milyen r paraméter esetén ad olyan másodfokú egyenletet, amelynek egyetlenegy megoldása van?

3² + (y + 2)² = r² milyen r paraméter esetén ad olyan másodfokú egyenletet, amelynek egyetlenegy megoldása van?

(y + 2)² = r² - 3² milyen r paraméter esetén ad olyan másodfokú egyenletet, amelynek egyetlenegy megoldása van?

Utóbbira tudjuk a választ: ha jobboldalon negatív szám áll, nincs megoldás, ha meg jobboldalon pozitív szám áll, két megodás is van. Az lenne a jó, ha jobboldalon épp 0 állna:

r² - 3² milyen r paraméter esetén lesz épp 0?

Ezt már könnyen meg tudjuk mondani:

r² - 3² = 0

r² = 3²

Mivel r-rel kör sugarát jelöltük, negatív számok nem jönnek szóba, tehát

r = 3