Mondanátok nekem jó, gondolkodtató, logikai matekfeladatokat?

A logikai és a matematikai nem egészen ugyanaz, bár gyakran összefügg. :)

Itt van pl. egy:

Van egy nagy várbörtön, abban 400 cella, minden cellában egy-egy rab. A zárak úgy működnek, hogy egy fordításra zár, a következőre fordításra nyit, aztán ismét zár, és így tovább. Pillanatnyilag minden cella zárva van. A várúrnak születésnapja van, valami jót akar cselekedni, ezért elküld egy őrt, hogy minden záron fordítson egyet. Hanem rájön, hogy így rab nélkül marad a nagy börtöne (és milyen várbörtön az ilyen...), ezért a következőt találja ki. Elküldi a második őrt azzal, hogy most minden második záron fordítson egyet (a másodikkal kezdve), majd küldi a harmadikat, és neki minden harmadik záron kell fordítania. És így tovább egészen a 400. őrig (marha sok őre volt...), aki már csak a 400. ajtó zárján fordít egyet. Ezek után amelyik cella ajtaja nyitva van, azt a rabot szabadon engedik. Nos, mennyire volt végül nagylelkű a születésnapját ünneplő várúr, vagyis hány rabot engedett szabadon?

Megoldás: 20. A dolog lényege annyi, hogy azok szabadulnak ki, akiknek a celláján páratlan számú fordítás történik. Mateknyelvre fordítva, azok a cellaszámok, amiknek páratlan számú osztója van. Ezek pedig a négyzetszámok. 400-ig pontosan 20 négyzetszám van.

2., Van 2 db. tojás, és egy 20 emeletes épület. Ha valamelyik emeleten kidobunk egy tojást, akkor az vagy összetörik vagy nem. Állapítsuk meg melyik a legmagasabb emelet ahol még nem törik össze egy tojás. Méghozzá a lehető legkevesebb próbálkozással. (ugye csak 2 db. tojcsit lehet tönkretenni)

a legkevesebb dobás 6 darab.

Először a 6. emeletről dobjuk le, ha törik 1-5-ig megvizsgáljuk az emeleteket, így maximum hatszor dobtunk...

Ha nem törik ledobjuk a 11. emeletről, ha törik 6-10-ig megvizsgáljuk az emeleteket, így maximum hatszor dobtunk...

Ha nem törik a következő emelet a 15. emelet, ha itt törik 12-14-ig megvizsgáljuk, így maximum hatszor dobtunk...

Ha a tizenötödiken se tört, a negyedik dobást a 18.emeletről intézzük, ha törik 16-17-ig megnézzük, melyiken törik, így maximum hatszor dobtunk...

Végül a huszadik emeletet nézzük meg, ez az ötödik dobás, s amennyiben a 20.-on eltört, megvizsgáljuk a 19.-et, így maximum hatszor dobtunk...

És még van rengeteg, nem akarok sokat beírni :D

1.) Van 9 darab pénzérménk, amelyek közül az egyik hamis, ezt onnan lehet felismerni, hogy könnyebb a többinél. Rendelkezésünkre áll egy kétkarú mérleg, amivel meg tudjuk vizsgálni, hogy melyik érme nem igazi. Hogyan tudjuk 2 méréssel megállapítani, melyik pénz hamis?

Megoldás): 3-as csoportokra osztjuk a pénzeket, összesen 3 darab lesz. Felrakunk ezekből 2 csoportot a mérlegre. Ha látunk különbséget, akkor a könnyebb csoportban lesz a hamis pénz, ha nem, akkor a kimaradt csoportban. Ha ez megvan, a hamis pénzes csoportból felrakunk 1-1 érmét. Megint ez van, ha egyenlőek, akkor a kimaradt pénz, és ha nem, akkor a könnyebb a hamis.

2.) 6 darab golyót 3 dobozba raktunk. Az egyik dobozban két piros, a másikban egy piros és egy fehér, a harmadikban két fehér van. Mindegyik dobozra felírták ezeket a színösszeállításokat, de egyikre sem azt,ami valójában benne van. Meg lehet -e egy golyó kihúzásával állapítani, melyik dobozban milyen színűek vannak?

Megoldás): Igen. Ha abba a dobozba nyúlunk, amire a "vegyes" van írva (de nem vegyes van benne), és kihúzunk pl. egy fehéret, akkor már rögtön tudjuk, hogy két fehér van a dobozban. A "két fehér" feliratúba meg a két piros került, mert tudjuk, hogy a "két piros"ba nem kerülhet a két piros, és már csak az és a vegyes van hátra. Így kizárásos alapon a "két piros" feliratúba kerül a vegyes.

3.) Öten vacsoráznak egy kerek asztalnál, igazmondók és hazugok. Az igazmondók mindig igazat mondanak, a hazugok mindig hazudnak. Amikor megkérdezték őket a mellettük ülőkről, mindenki azt felelte: "Tőlem jobbra is és balra is hazug ember ül." Hány hazug van az asztalnál?

Megoldás): Az igazmondók igazat mondanak, tehát mellettük mindkét oldalról csak hazug lehet, különben hazudnának. A hazugok mellé vagy két igazmondó, vagy egy igazmondó és egy hazug kerülhet, különben igazat mondanának. Így alakul ki az ülésrend: Ig.-H.-Ig.-H.-H. (persze kör alakban xD) Ha egy helyet is megváltoztatnánk, vagy újabb személyt tennénk be, akkor vagy egy igazmondó hazudna, vagy egy hazug mondana igazat. Így tehát 3 hazug ül az asztalnál.

4.) Aladár, Béla, Cili és Dóri egy versenyen vettek részt. Az eredményhirdetés után így számoltak be felkészítőjüknek:

Aladár: Nem én nyertem.

Béla: Aladár nyert.

Cili: Én nyertem.

Dóri: Béla nyert.

Ki nyert, ha tudjuk, hogy az állítások közül csak egy igaz?

Megoldás): Vegyük sorra mindegyikkel, hogy mi lenne, ha igazat mondana. Ha Aladár mondana igazat, igaz lehetne az is, amit Cili és Dóri mond. Ha Béla mond igazat, akkor egyik másik állítás sem igaz (hiszen ő A.-nak is ellentmond), de hogy megbizonyosodjunk: Ha Cili mondana igazat, akkor Aladár állítása is biztos igaz, Dóri állításánál ugyanígy van, így Béla állítása szerint Aladár nyerte meg a versenyt.

Bocsi, ha hosszú lett...