Három szám szorzata és összege is 6, melyek ezek a számok?

1,2,3

biztos ez a feladat?

Mit kell rajta magyarázni?

1x2x3=6

1+2+3=6

Egész éjjel és délelőtt ezen gondolkodtam. Az 1, 2, 3 megoldás nekem is gyorsan eszembe jutott, de engem a többi megoldás lehetősége érdekelt. Léteznek még megoldások, sőt, ,,recept'' szerint lehet tetszőlegesen sok más megoldást találni, végtelen sok megoldás van. Egy példa:

x = 3/2 = 1,5

y = 9 + √1̅7̅ ≈ 3,2807764064044154

z = 9 - √1̅7̅ ≈ 1.2192235935955849

Ellenőrizhetjük, hogy az összeg tényleg 6:

[link]

Ellenőrizhetjük, hogy a szorzat is éppen 6:

[link]

Hogy hogyan jött ki ez az új megoldás (egy a sok lehetséges közül)?

A levezetésben sok képletet kellett használni, ezért azt külön ide teszem:

[link]

Egy: Ennek az egyenletrendszernek végtelensok megoldása van.

Kettő: Feltételezem hogy elfelejtetted leírni az értelmezési tartományt.

Három: Észrevéve hogy 1+2+3=6 és 1*2*3=6 csak egyetlen megoldást kapunk, ami nem bizonyítja hogy léteznek-e esetleges más megoldások is.

Most olyat írok le, amiben nem vagyok egész biztos, de szerintem ebbe az irányba lehetne elmenni.

Tegyük fel, hogy a példa úgy szólt hogy ,,a természetes számok halmazán''.

Amikor levezettem az előbb azt a gyökös megoldást, akkor úgy tapasztaltam, hogy a példa megoldásai általában is úgy adódnak, hogy az egyik (pl. az első) számot még szabadon választhatom meg (bizonyos keretek, megszorítások között). Egy adott konkrét első számhoz pedig már meg van határozva (a példa belső logikája alapján), hogy mi lehet a másik két szám. (Valószínűleg sorrendtől eltekintve.)

No akkor most nézzük a szóbajövő eseteket (tehát ezúttal a természetes számok halmazára szorítkozva):

Első szám 0: ez nem lehetséges, mert akkor a szorzat is 0 lenne, nem 6.

Első szám 1: ekkor a másik két szám a 2 és 3 (vagy viszont)

Első szám 2: ekkor a másik két szám a 1 és 3 (vagy viszont)

Első szám 3: ekkor a másik két szám a 1 és 2 (vagy viszont)

Első szám 4: ekkor a másik két szám összege a 2-es összértéken ,,osztozkodnék''. A 2-t pedig nem lehet úgy két részre vágni, hogy a két rész szorzata nagyobb legyen legyen 1-nél. (Hogy miért is nem, azt akár egy másodfokú egyenlettel,* akár analízisbeli fogalmak révén beláthatjuk.) Márpedig ha a másik két szám szorzata legfeljebb 1, akkor a három szám együttes szorzata (tehát most a 4-et is belevéve) legfeljebb csak 4 lehet, vagyis a szorzat semmilyen elrendezésre nem veheti fel a 6 értéket. Tehát: az a feltételezés, hogy az első szám esetleg 4-nek lenne választható, ellentmondáshoz vezetett.

Első szám valamilyen 4-nél nagyobb természetes szám: minden, amit az előbb a 4-es értékre elmondtunk, ugyanaz az érvelés itt is igaz marad. Teát ezt az esetet is üresnek kell tekintenünk.

Minden lehetőség áttekintettünk, ezek után kizárhatjuk, hogy a természetes számok halmazán lényegesen más megoldás létezhetnék, mint az 1, 2, 3.

Szóval, ha mindez tényleg helyes megfontolás volt igaz (nem vagyok biztos benne, csak így képzelem a levezetés menetét), akkor a példának tényleg nincs más megoldása (a természetes számok halmazán), csak az 1, 2, 3, bár az bármilyen szereposztásban előfordulhat (tehát a szerepek sorrendje nem számít, akkor 3! megoldás van, de ezek érdemben nem különböznek egymástól.)

---- JEGYZETEK

* Jegyzet: azért leírom annak a részgondolatnak a levezetését, hogy: ,,Ha két szám összege 2, akkor a szorzatuk nem lehet 4''.

Egyenletrendszer:

y + z = 2

y · z = 4

z-t kifejezzük y segítségével: z = (2 - y)

az egyenlet,,rendszer'' most már csak egy egyenletből áll:

y · (2 - y) = 4

2y - y² = 4

y² - 2y + 4 = 0

Megoldóképlet alapján látszik, hogy ennek a másodfokú egyenletnek nincs megoldása. Talán azonban a teljes négyzetre való kiegészítés még látványosabb:

(y - 1)² - 1 + 4 = 0

(y - 1)² + 3 = 0

(y - 1)² = -3

A baloldalon valamilyen kifejezésnek a négyzete áll, a jobb oldalon negatív szám. Négyzetszám sosem lehet negatív (nincs olyan szám, amelynek a négyzete negatív lenne).

A jegyzetben említett részgondolat egész pontosan úgy szólt:

,,,,Ha két valós szám összege 2, akkor a szorzatuk nem lehet 1-nél nagyobb''.

A levezetés helyett példát mutatok arra, hogy már csak 1,0001 sem lehet a szorzat értéke ilyen feltétel mellett.

Szóval az egyenletrendszer

y + z = 2,

y · z = 1,0001

z-t kifejezzük y segítségével: z = (2 - y)

a szorzat tehát így írható fel:

y · (2 - y) = 1,0001

ami átalakítható erre az alakra:

2y - y² = 1,0001

Rendezve:

y² - 2y + 1,0001 = 0

Erről megint belátható megoldóképlettel, hogy nincs megoldása.

A teljes négyzetre való kiegészítés talán most is szebb út:

[(y - 1)² - 1] + 1,0001 = 0

(y - 1)² + (1,0001 - 1) = 0

(y - 1)² + 0,0001 = 0

(y - 1)² = -0,0001

Ha lenne ilyen y szám, akkor az (y - 1) kifejezés olyan számot adnak aminek a négyzete -0,0001 lenne, vagyis NEGATÍV SZÁM. Ilyen lehetőség nincs, olyan érték, amit valami négyzeteként állítottunk elő, nem lehet negatív.

Ellenőriztem géppel a természetes számok halmazán, és az egész számok halmazán. Az ellenőrzés nem teljes: a természetes számok esetében 0-tól 100-ig, az egész számok esetében pedig -200-tól 200-ig helyettesít be minden lehetséges variációban a tesztscript az x, y ,z határozatlan helyébe:

[0..100] in [(x, y, z) | x <- nat, y <- nat, z <- nat, x + y + z == 6, x * y * z == 6]

[-200..200] in [(x, y, z) | x <- nat, y <- nat, z <- nat, x + y + z == 6, x * y * z == 6]

Ezek Haskell scriptek, akár interaktív módban is futtatható bámelyik Haskell compilerrel (Hugs, Glasgow Haskell Compiler). Kisebb értéktartomyánokra online is ki lehet próbálni:

[link]

A teszt futási eredménye:

[(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)]

Vagyis az érdemi megoldás az 1, 2, 3, persze ez viszont az összes lehetséges szereposztásban (3! = 6).

Valószínűnek tartom, hogy valójában az ellenőrzést elég lenne a 0-tól 6-ig terjedő tartományra elvégezni. Persze ez megint csak valamilyen elv figyelembevételét jelentené, a nyers teszt lényege pedig szerintem épp az, hogy semmilyen elv meggondolását nem követeli meg (viszont ennek az ára az, hogy nem is teljes körű).

Javítás:

let nat = [0..100] in [(x, y, z) | x <- nat, y <- nat, z <- nat, x + y + z == 6, x * y * z == 6]

let nat = [-200..200] in [(x, y, z) | x <- nat, y <- nat, z <- nat, x + y + z == 6, x * y * z == 6]