Hogyan igazoljam, hogy (1/[1,3])+ (1/[2,4])+ (1/[3,5])+...+(1/[2022,2024]), <3/2, ahol [x,y] a x és y természetes számok legkisebb közös többszöröse?

Két lehetőség van; ha a nevezőben a számok

-páratlanok, akkor relatív prímek egymáshoz, tehát a két szám legkisebb közös többszöröse a két szám szorzata lesz,

-páros, akkor a két számnak egyedüli közös osztója a 2, ekkor a két szám legkisebb közös többszöröse azok szorzata /2. De, hogy ne kelljen emeletes törtekkel számolni, ezért megtehetjük azt, hogy bővítjük a törtet 2-vel, a nevezőben pedig a két szám szorzata marad.

Az olyan törtekkel való számolás, ahol a nevező felírható két egymást követő, azonos paritású szám szorzataként, a számláló pedig 2, egy jól ismert probléma, nevezetesen minden ilyen tört felírható két olyan tört különbségeként, ahol a számlálók 1, a nevező pedig a két szorzótényezó:

2/(1*3) = 1/1 - 1/3

Tekintve, hogy nekünk most csak 1/(1*3) van, ezért így tudunk módosítani:

1/(1*3) = 0,5/1 - 0,5/3

Ugyanezt el tudjuk játszani a következő páratlanra:

1/(3*5) = 0,5/3 - 0,5/5

És a következővel is:

1/(5*7) = 0,5/5 - 0,5/7

És ezt addig, amíg vannak ilyen törtek. Az utolsó:

1/(2021*2023) = 0,5/2021 - 0,5/2023

Ha ezeket összeadjuk, akkor 2 tag kivételével minden tört kiesik, mert van ellentétes előjelű párjuk (ezt hívjuk egyébként teleszkopikus összegnek, mert az összeg "összecsukódik", mint egy teleszkóp), így ez marad: 0,5/1 - 0,5/2023

Ugyanezt meg tudod csinálni a párosakkal is, ekkor ez marad a végén:

1/2 - 1/2024

Innentől csak az a kérdés, hogy a

0,5/1 - 0,5/2023 + 1/2 - 1/2024

műveleti sor eredménye kisebb-e, mint 3/2.