Ha a és b nem relatív prím természetes számok, a=13n+10 és b=12n+11, n nagyobb vagy egyenlő mint 2, és legkisebb közös többszörösük 15525, akkor mennyi a két szám?

Használjuk ki azt a tulajdonságot, hogy ha két, közös osztóval rendelkező számot kivonunk egymásból, akkor az eredmény is osztható a közös osztóval. Például a 72 osztható 9-cel, a 387 is osztható 9-cel, ezek különbsége 315, ami szintén osztható 9-cel.

Ennek megfelelően végezzünk kivonásokat;

13n+10 - (12n+11) = n-1, majd folytatólagosan ezt is vonjuk ki a 12n+11-ből annyiszor, hogy n eltűnjön;

12n+11 - 12*(n-1) = 23

Ezt azt jelenti, hogy a két eredeti szám közös osztója a 23, vagy a 23-nak valamelyik osztója. A 23 prímszám, tehát neki önmagán kívül csak az 1 az osztója, viszont a feladat azt mondta, hogy a két szám nem relatív prím (vagyis van 1-nél nagyobb közös osztójuk), ezért kizárásos alapon a két szám legnagyobb közös osztója csak a 23 lehet.

A következő lépés, amit meg tudunk tenni, az a következő tuüajdonságon alapul;

(a;b) * [a;b] = a*b,

vagyis a két szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének szorzata egyenlő a két szám szorzatával. Esetünkben ()=23, []=15525, a két szám pedig 13n+10 és 12n+11, így ezt az egyenletet kapjuk:

23 * 15525 = (13n+10)*(12n+11)

Ez pedig egy másodfokú egyenlet lesz, amit meg tudunk oldani könnyedén akár a megoldóképlettel, de mivel n egész, ezért az egyenlet számelméletileg is megoldható. Ha nem megy, szólj, és segítek benne.