Hatarozzuk meg azokat a nullatol kulonbozo termeszetes szamokat amelyeknek osszege egyenlo a legnagyobb kozos osztojuk es a legkisebb kozos tobszorosuk osszegevel?

Ha a=xk, b=yk akkor gcd(a,b) = k*gcd(x,y). Hasonloan, a legkisebb kozos tobbszoros: a=xk, b=yk, lcm(a,b)=k*lcm(x,y). Tehat ha a es b nem relativ primek, batran leoszthatunk a legkisebb kozos tobbszorossel.

Vagyis a+b=1+ab ahol a es b relativ primek, nyilvan a=1 vagy b=1 megoldas (ez volt az elso valaszolo megoldasa). Legyen mondjuk b a nagyobb, osszunk le vele (nem nulla): a/b+1=1/b+a -- a bal oldal garantaltan kevesebb mint 2 (hiszen a/b < 1) a jobb oldal viszont ha a > 1 akkor a>=2 es igy 1/b+a > 2 tehat ez az eset nem vezet megoldasra. Nincs mas megoldas mint hogy egymas tobbszorosei legyenek.