Egy számtani sorozat ötödik tagja 10. Az első öt tag összege ötöde a következő öt tag összegének. Mennyi a sorozat differenciája?

Kicsit egyszerűbb, ha az 5. taghoz = 10-hez mérten írjuk fel a tagokat:

10-4d ; 10-3d ; 10-2d ; 10-d ; 10 ; 10+d ; 10+2d ; 10+3d ; 10+4d ; 10+5d

A két egyenlet:

10-4d + 10-3d + 10-2d + 10-d + 10 = S5

10+d + 10+2d + 10+3d + 10+4d + 10+5d = 5*5S

Összevonás után egy mezei egyenletrendszert kapsz.

10-4d + 10-3d + 10-2d + 10-d + 10 = S5

10+d + 10+2d + 10+3d + 10+4d + 10+5d = 5*5S

Összevonás után:

50 - 10d = S5

50 + 15d = 5*S5

Behelyettesítünk a 2. egyenletben S5 helyére:

50 + 15d = 5*(50 - 10d), kibontjuk a zárójelet:

50 + 15d = 250 - 50d, hozzáadunk 50d-t és kivonunk 50-et:

65d = 200, osztunk 65-tel:

d = 200/65, egyszerűsítés után d = 40/13

Ezt behelyetteítjük az 1. egyenletben d helyére:

50 - 10*40/13 = S5, innen S5 = 250/13.

Ellenőrzés:

Első egyenlet bal oldal: 10-4*40/13 + 10-3*40/13 + 10-2*40/13 + 10-40/13 + 10 =

... = 250/13,

jobb oldal: 250/13,vezek egyenlők.

Második egyenlet bal oldal: 10+40/13 + 10+2*40/13 + 10+3*40/13 + 10+4*40/13 + 10+5*40/13 = ... = 1250/13

jobb oldal: 5*250/13 = 1250/13

Ezek is egyenlőek.

Tehát mindent jól számoltunk, a kérdésre pedig a válasz: a differencia 40/13.