Egy egyenlőszárú háromszög szárai az A(3; 6) pontban metszik egymást. A háromszögbe írt kör egyenlete: (x-3)^2+y^2=9. Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit. Mi a megoldás?

Ennyi adatból végtelen sok megoldást lehet megadni.

A háromszög szimmetriatengelye átmegyek az A ponton és a kör középpontján, ennek az egyenletét fel tudjuk írni. A kör középpontja (3;0), az is könnyen kiszámolható, hogy az egyenes a kört a (3;-6) pontban metszi.

Most szerencsénk van, mert az egyenes függőleges, ezért első koordinátái megegyeznek a pontjainak. Válasszuk ki a (3;k) pontot az egyenesről, ahol -6<k<6, majd erre a pontra írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik merőleges az x=3 egyenletűre. Speciálisan ezt is könnyen meg tudjuk adni; y=k.

Innentől már csak az a kérdés, hogy ez melyik két pontban metszi a kört. Egy k-tól függő megoldáspárt fogunk kapni, ezzel megadva a másik két pontot.

#3 Azt gondoltam, hogy az A pont rajta van a körön, mert elszámoltam. Abban az esetben viszont úgy lenne, ahogy írtam.

Ebben az esetben a következőképpen számolhatunk;

Ismeretes a

TΔ = r*s

területképlet, ahol r a beírt kör sugara, s pedig az úgynevezett félkerület, vagyis a kerületnek a fele.

Valamint tudjuk a TΔ = a*m/2 képletet is, ebből a kettőből ki tudunk indulni.

A háromszög alapra merőleges magassága 9 egység. Ahogy az ábrán is látható, az alap az y=-3 egyenletű egyenesen helyezkedik el. Legyen az alap egyik végpontjának két koordinátája A( 3-k ; -3 ), a másiké B( 3+k ; -3 ), ezzel elértük azt, hogy ez a két pont a (3;-3) ponttól egyenlő távolságra van, valamint rajta vannak az y=-3 egyenletű egyenesen. Ezzel a felírással az alap hossza 2k lesz, tehát a területet egyszer így tudjuk felírni:

TΔ = 2k*9/2 = 9k.

Most nézzük a másik képletet; a háromszögben keletkezett két, egybevágó derékszögű háromszög, ezekben a befogók hossza k és 9, tehát Pitagorasz tételével az átfogó hosszát is ki tudjuk számolni: gyök(81+k^2). Ezáltal a háromszög három oldalának hossza: gyök(81+k^2) ; gyök(81+k^2) ; 2k, ezek összege 2*gyök(81+k^2)+2k, ez a háromszög kerület, ennek a fele pedig gyök(81+k^2)+k, ami a képletbeli s-nek felel meg.

Így tehát a másik területképlettel ezt kapjuk:

TΔ = 3*(gyök(81+k^2)+k)

Mivel ugyanannak a háromszögnek a területét számoljuk kétféle módon, ezért ezek eredményeire ugyanazt kell kapnunk, tehát egyenlővé tudjuk őket tenni:

9k = 3*(gyök(81+k^2)+k), ez pedig egy viszonylag könnyedén megoldható egyenlet. Először oszthatunk 3-mal:

3k = gyök(81+k^2)+k, kivonunk k-t:

2k = gyök(81+k^2), négyzetre emelünk (azzal a kikötéssel, hogy k≥0):

4k^2 = 81+k^2, kivonunk k^2-et:

3k^2 = 81, osztunk 3-mal:

k^2 = 27, végül gyököt vonunk:

k = ±gyök(27), viszont a negatív megoldás nem megoldása az eredeti egyenletnek, így az egyetlen megoldás: k=gyök(27)

Innentől már nincs más dolgunk, mint k helyére beírni a kapott eredményt az A és B pontokban, ezzel megkapva a háromszög alapjának végpontjait; A( 3-gyök(27) ; -3 ) és B( 3+gyök(27) ; -3 )