Határozd meg a (3+³√3)¹⁰ kifejtésében szereplő irracionális tagok számát!?

Kezd azzal, hogy hányféle 3^a*köbgyök(3)^b létezik, ha a köbgyök(3)-at változatlanul hagyod és "a" meg "b" 0 és 10 közötti egész.

És hány olyan van, ahol "b" 3-mal osztható.

"Hányféleképpen tudnak vegyes párt alkotni?"

Pontosabban: ha egy párt kell közülük kiválasztani, akkor hány különböző vegyes pár létezhet?

Az első válaszoló jól szólt. A binomiális tétel szerint ugye (a+b)^n=∑_k=0^n a^{n-k}*b^k

Tehát a (3+³√3)¹⁰ binomiális kifejtésében 3^{10-k}*³√3^k alakú tagok fognak szerepelni. Ezek közül pontosan azok lesznek racionálisak, melyekben ³√3^k racionális, azaz pontosan akkor lesz egy tag a kifejtésben racionális, ha k=0,3,6,9. Ez négy racionális tagot jelent, a binomiális kifejtésben pedig 11 tag van, ezért 11-4, amiért 7 irracionális tagunk lesz.

Az összes egyesítés után a lehetséges tagok:

racionális*köbgyök(3)

racionális*(köbgyök(3))^2

és racionális.

Azaz 2 irracionális tag a végeredmény.

De ha a binomiális kifejtéshez ragaszkodunk összevonás nélkül, akkor (x+y)^10 kifejtése 11*11=121 tagból áll. Mert x kitevője 0 és 10 közötti. y-é szintén.

Ezek közül, ha y kitevője 1,2,4,5,7,8 vagy 10, akkor a tag irracionális lesz. Így a binomiális kifejtésben összevonás nélkül 77 irracionális tag lesz.