Háromdimenziós vektorok. Mennyi az x értéke?

Tudjuk, hogy bármilyen gúla esetén térfogat = alapterület*testmagasság/3. Tetraéder esetén még olyan szerencsés helyzetben is vagyunk, hogy bármelyik oldallapja lehet alaplap.

Egy lehetséges megoldás: kiszámolod a tetraéder azon lapjának a területét, amelyiknek mindhárom csúcspontja ismert. Ezután erre a lapra keresel egy merőleges vektort, amit legkönnyebben a vektoriális szorzattal tudsz megtalálni. Ha ez is megvan, akkor ezt a vektort úgy kell „beállítani”, hogy hossza megfelelő legyen (a magasság hosszát a térfogatképletből tudod kinyomozni), itt arra kell odafigyelni, hogy két jó vektor is létezik (a másik jó vektor az elsőre megtalált (-1)-szerese). A „beállítást” úgy a legegyszerűbb, hogy először normálod a vektort, vagyis elosztod a koordinátáit annak hosszával, ekkor a kapott vektor hossza 1 lesz, ezt pedig könnyű bármivel szorozni. A vektor hossza: gyök(x^2+y^2+z^2).

Ezen a ponton a keresett csúcs síkját kellene meghatározni. Ezt úgy is lehet, hogy az alaplapnak felhasznált lap csúcsait eltolod a vektorokkal, majd az így kapott 3-3 pontra felírod a sík egyenletét. Végül ezekbe az egyenletekbe behelyettesíted a keresett pont koordinátáit, és az így kapott egyenleteket megoldod x-re.

Vegyesszorzattal a legegyszerűbb. 3x3-as determinánst kell hozzá számolni.

[link]