Miért épp pí a kör kerületének, és az átmérőjének a hányadosa, miért nem három, mikor háromdimenziós térben élünk?

> Miért épp pí a kör kerületének, és az átmérőjének a hányadosa

Eleve rossz a megközelítés. Van a kör, ami egy a természetben viszonylag gyakori, és sok szempontból szabályos alakzat. A körnek vannak különböző méretei. A π (3,141592…) a kör kerületének és a kör átmérőjének az arányát kifejező mennyiség. ( [link] )

Amúgy nyilvánvalóan sokféle más szabályos alakzat is létezik, pl. a négyzet, egyenlő oldalú háromszög, stb… A négyzetnél is vannak arányok, a négyzet átlója és az oldala közötti arány √2. Az egyenlő oldalú háromszögél meg mondjuk a háromszög magassága és az oldala közötti arány √3/2.

A π annyiból különleges, amennyiben a kör különleges a különböző alakzatok között. Meg annyiból, hogy a π irracionális, sőt transzcendens szám, tehát nem lehet zárt alakban felírni, nem megoldása racionális együtthatós polinomoknak. Illetve annyiból különleges, hogy sok más helyen is felbukkan a matematikában, de ezt mind vissza lehet vezetni valami olyan jellegzetességre, jelenségre, ami valamilyen módon a körhöz vezet vissza.

> miért nem három, mikor háromdimenziós térben élünk?

Mert nincs köze a dimenziók számához. A kör eleve kétdimenziós alakzat. A kör kerülete és átmérője közötti arány akkor is π, ha egy háromdimenziós, ha egy négydimenziós, ha egy ötdimenziós, vagy egy 537 dimenziós térben élnénk.

Mégis mi köze a 3D-nek a píhez? És a gyök-kettő, az miért nem három? Ez olyan, mintha azt kérdezném, hogy ha két lábunk van, akkor miért csak egy nap van az égen és nem kettő. Tökre nem függ össze.

A pí azért annyi, mert egy síkon píszer több "vonal" (festék, spárga, akármi) kell ahhoz, hogy egy adott pont köré kört rajzoljunk, mint amennyi vonal ahhoz kell, hogy az adott pontból ugyanolyan messzire szakaszt húzzunk.

Hogy miért nem három? Leegyszerűsítve azért, mert nem annyi. A pí értéke nem egy általunk befolyásolt érték hanem az univerzumunk egy fundamentális tulajdonsága, amit mi emberek a számunkra felfogható számokkal próbálunk leírni.

A pi azért létezik mert szükség volt egy matematikai módszerre a világ egyik alap jellegének a pontos értelmezésére.

2*Sü

Bocsi, véletlenül pirosat nyomtam, de egyetértek veled, sorry.

> Bocsi, véletlenül pirosat nyomtam, de egyetértek veled, sorry.

No para. Viszont kár, hogy nem 80%-os az értékelésed. Mert eddig egy 96%-os és egy 75%-os nyomott zöldet. Ha 80%-os lenne az értékelésed, akkor az értékeléssel súlyozva elmondhatnánk, hogy 3,14 „válaszolóból” egy nyomott pirosat.

Ezt a privit kaptam a kérdezőtől:

"Erre a magyarázat a négyzet oldala egy egység, és a bebizonyított Pitagorasztétel, ill a számtani középpontjában végzett írásbeli gyökvonás is, melyet a gép szerintem fénysebességgel végez, így alig egy másodperc múlva már ezer jegyre ki is számol A gép. A píre feleljen tétellel ha tudod. Ez már jóval keményebb dió."

A pí is képletből jön ám ki, szóval ugyanaz a helyzet.

A pí egyik kiszámítási módja a következő sorozat:

Vegyünk egy a körbe írható sokszöget, mondjuk egy szabályos hatszöget, tehát egy olyan hatszöget, aminek a sarkai a körre illeszkednek, az oldalai pedig értelemszerűen a körön belül futnak, és az oldalak egyenlőek. Számoljuk ki a kerületét, ami a megfeleő KÉPLETBŐL adódik. Vegyünk egy nagyobb sokszöget, mondjuk egy nyolcszöget, számoljuk ki a kerületét. Azt fogjuk tapasztalni, hogy minél többoldalú sokszöget veszünk, annál nagyobb ez a szám, és annál közelebb van a kör kerületéhez (egységnyi sugár esetén píhez).

Ugyanezt tapasztaljuk, ha a kör köré rajzolt (érintőleges) sokszögeket veszünk, és egyre növeljük a szögszámot.

Privátban jött válaszra reflektálva:

> Jó, de a miértjét te se tudod.

Mármint hogy miért pont annyi a kör kerülete és az átmérője közötti arány, amekkora? A matematikában a „miért” nehezen értelmezhető kérdés. Matematikában csak azt lehet feltenni kérdésként, hogy miből következik hogy a π annyi, amennyi. Ennek a megválaszolásában kétségtelen, hogy van valamiféle misztikusság. Ugyanakkor mindaz, ami a π-ről elmondható, az profán, logikus úton levezethető. Pl. egy 6–8 éves gyerek számára is érthető módon meg lehet mutatni, hogy a π-nek miért kell, hogy szükségszerűen nagyobbnak lennie 3-nál.

(Ha tényleg érdekel részleteiben, akkor nézd meg ezt az ábrát: [link]

Az ábrán látsz egy hatszöget, ami 6 darab egyenlő oldalú háromszögre osztható. A háromszögek oldalinak a hossza azonos a kör sugarával. Nyilván a hatszög kerülete a háromszög oldalának, így a kör sugarának a hatszorosa, azaz az átmérő háromszorosa lesz. A kör kerületének ennél nagyobbnak kell lennie, hiszen míg a hatszög esetén az egyik csúcstól a másikig a legrövidebb – azaz egyenes – úton jutunk el, addig ugyanazt a két csúcsot összekötő körív „kerülő”, valamennyivel hosszabbnak kell lennie.)

> Az nagy kérdés, hogy bírták ilyen szépen kiszámolni, kell valami algebrai összefüggés is, mérni nem lehet több milliárd tizedes jegyre pontosan. Jó nem lett pontos, de több milliárd helyes tizedes jegyre több mint elégséges. Százezer jegy is már szuper a jó progikon.

Úgy, hogy tényleg nem méréssel számolják ki a π-t. Ugyan a π transzcendens szám, így nem gyöke egyetlen polinomnak sem, így nem lehet egész számokat használva véges számú művelettel pontosan meghatározni, viszont végtelen számú művelet határértéke lehet pontosan a π.

[link]

(Hogy egy-egy képlet miért pont az, ami, miért adják pontosan a π-t, vagy egy π-t tartalmazó véges képletet, annak a belátásához már jóval több idő kellene, és mélyebb matematikai tudás. Nota bene a legtöbbről én sem tudom, hogy miért az a képlet, ami, de néhányról igen. Nem vállalkoznék ennek a levezetésére, mert ha lenne papír, ceruza, meg élőszóban mondhatnám el, lehet úgy is eltartana fél óráig.)

Nyilvánvalóan nem lehet végtelen számú műveletet elvégezni. De véges számú művelettel megkapod a π-nek egy közelítő értékét, és azt is ki lehet számolni, hogy milyen határon belül van ez a közelítő érték a tényleges π-től. Így annak, hogy hány számjegy pontosságig tudod kiszámolni a π-t, annak csak az idő és a számítási kapacitás szab gátat, az viszont eléggé.

> Eleve csak 100 tizedesjegy még a csillagászok nak is elég, százezer jegy is már túl sok lenne. Tudtommal a Gogol, tíz a százon a gyakorlatban alkalmazott legnagyobb szám, Tíz a százezren már jóval több nála.

Ezért nem mennénk sokra a méréssel. A Föld egyenlítője ha teljesen pontosan kör alakú lenne, és ezredmilliméter pontossággal tudnánk megmérni azt, és a Föld sugarát vagy átmérőjét, akkor is csak kb. 13 számjegyig ismernénk a π értékét. De a matematika általában nem mérni szokott, hanem számolni…

Amúgy praktikusan pont ugyanezen okok miatt nem lenne problémánk. Ha egy lövedék útjának kiszámításához kellene a π-vel számolni, akkor egy 1 méteres terület eltalálásához elég lenne 10 számjegy pontossággal ismerni a π-t. És ott sem a számítási pontosság lenne a szűk keresztmetszet, hanem ezer másik technikai paraméter tenné pontatlanná a célzást. A gyakorlatban 100 számjegynél pontosabb érték soha nem kellett és nem fog kelleni. A π pontosabb és pontosabb kiszámolásának nem közvetlen gyakorlati célja, jelentősége van.