Szükségem lenne két feladat megoldásában a segítségetekre. Valaki?

1. Csináljuk azt, hogy nem egyszerre tesszük be a pontokat, hanem adagoljuk egyesével.

Beteszünk egy pontot valahová, és ezt összekötjük a 2023 oldalú sokszög minden csúcsával, ekkor 2023 háromszöget kapunk.

A következő pontot már csak valamelyik háromszög közepébe tehetjük (máskülönben lenne 3 pont, amik kollineárisak), ezt a pontot pedig már csak annak a háromszögnek a csúcsaival köthetjük össze, amelyikbe beletettük, tehát ebben a háromszögben 3 kisebb háromszög keletkezik.

Ugyanezt a lépést megcsináljuk még 1499-szer, és mindig azt tapasztaljuk, hogy az adott háromszögön belül 3 kisebb háromszög keletkezik.

A "Hány háromszög keletkezett?" kérdés kétféleképpen is értelmezhető; vagy úgy, hogy csak az "elemi" háromszögeket kérdezi a feladat, vagyis amik nem tartalmaznak további háromszögeket, vagy pedig azokra a háromszögekre is kíváncsi, amik ezzel az eljárással menet közben is keletkeztek.

Ha a második értelmezés szerint válaszolunk a feladatra, akkor nincs nehéz dolgunk; kezdetben volt 2023 háromszög, majd minden lépésnél további 3-at kaptunk, ezzel egy számtani sorozatot kapunk, melynek első tagja 2023, differenciája 3, és az 1500-dik tagot keressük.

Ha az első értelmezést vesszük, akkor annyi csavar van, hogy minden lépésnél 3 háromszög keletkezik, viszont 1 háromszöget elveszítünk, így pedig a háromszögek száma kettesével fog nőni, így pedig szintén egy számtani sorozatot kapunk, aminek első tagja 2023, differenciája 2, és az 1500-dik tagot keressük.

Kérdés, hogy ha más eljárást választunk, akkor kaphatunk-e másik eredményt. Ezt sajnos nem tudom bizonyítani.

2. Triviális megoldás, hogyha 6-6-an vannak, ekkor felváltva ülnek. Kérdés, hogy lehetnek-e ennél többen kevesebben a lovagok. Az is nyilvánvaló, hogy két lovagot nem ültethetünk egymás mellé, tehát már csak kevesebb lehet.

Az 5 megoldható: L . L . L . L . . L . . (a pontok a lókötők)

A 4 is: L . . L . . L . . L . .

3 vagy kevesebb lovag nem lehet, ugyanis ha 3 lovag van, akkor akárhogyan elhelyezve őket mindig lesz 3 egymást követő hely, amikre lókötőket kell ültetnünk, ekkor viszont a középső lókötő állítása igazzá válik.

Tehát a lovagok szám 4, 5 vagy 6, így pedig a lókötőké 8, 7 vagy 6.

2. Kicsit másképp

- egy lovag mellett mindig két lókötő ül.

- három lókötő nem lehet egymás mellett

- ezért egy irányba elindulva lovag+lókötő és lókötő+lovag+lókötő egységekkel tölthetjük fel az asztal kerületét.

- a 2 és 3 hosszú egységeknek ki kell adni a 12-t.

- a 3 hosszú egységekből csak páros számú lehet:0, 2, 4

- 12=6*2=3*2+2*3=4*3

- a lovagok száma megegyezik az egységek számával: 6, 5 vagy 4.