Tudnátok segíteni ezt integrálni? 1 / (e^x + e^2x)

Első körben vezessünk be egy új ismeretlent; legyen e^x=t, ekkor az 1/(t+t^2) kifejezést kapjuk.

Ez egy algebrai tört, amit fel tudunk írni két tört (előjeles) összegeként, már csak arra kellene rájönnöd, hogy mik ezek a törtek (ezt hívjuk egyébként parciális törtekre bontásnak).

Ha ez megvan, akkor a kapott törtekben t helyére visszaírod az e^x-ent, és azokat már külön-külön fogod tudni integrálni.

Esetleg parciális törtekre bontás:

1/e^x-1/(1+e^x)

Innen tagonkénti integrálás.

A 2. tag: 1/(1+e^x)=(1+e^x-e^x)/(1+e^x)=1-e^x/(1/(1+e^x))

(A számlálóban a nevező deriváltja van.)

Ennek integrálja:

x-ln(1+e^x)

A végeredmény:

-1/(e^x)-x+ln(1+e^x)+c

Igaz.

A 2. tag: 1/(1+e^x)=(1+e^x-e^x)/(1+e^x)=1-e^x/(1+e^x))

Sőt!

A 2. tag: 1/(1+e^x)=(1+e^x-e^x)/(1+e^x)=1-e^x/(1/(1+e^x)

Először felírod szorzatként (gyöktényezős alak). Most nem nehéz, mert ki tudunk emelni t-t: 1/(t*(t+1))

Az biztos, hogy a valami/t és a valami/(t+1) törtek (előjeles) összegéből tudjuk ezt megkapni. Azt is tudjuk, hogy a két valami egy-egy konstans, tehát ezt tudjuk felírni:

1/(t*(t+1)) = A/t + B/(t+1), ahol A;B konstansok. Most az a kérdés, hogy milyen A;B konstansokra lesz ez az egyenlőség azonosság, vagyis mikor teljesül minden t-re (amik megfelelnek a kikötésnek). Felszorzunk a bal oldali nevezővel:

1 = A*t + A + B*t, összevonunk:

1 = (A+B)*t + A

Tudjuk, hogy két polinom akkor és csak akkor egyenlő egymással, hogy együtthatóik megegyeznek, tehát ezt az egyenletrendszert tudjuk felírni:

A + B = 0

A = 1

Ennek pedig megoldása: A=1 és B=-1, tehát

1/(t*(t+1)) = 1/t + -1/(t+1), ellenőrzésként a jobb oldalt közös nevezőre hozhatod és elvégezhetet a műveleteket, és akkor meglátod, hogy a bal oldali kifejezést kapod.

Van, amikor lehet egyszerűbben is, amit leírtam, az az általános eljárás arra az esetre, ha egy másodfokú kifejetés van a nevezőben.