Függvény korlatossag vizsgálata?

A legkisebb és legnagyobb értéket (vagyis a minimumot és a maximumot) jellemzően deriválással tudod meghatározni; ahol a függvénynek van úgynevezett lokális vagy globális szélsőértéke, és annál az értéknél (legalább egyik oldalról) folytonos és differenciálható, akkor ott a deriváltfüggvény értéke 0. Ha pedig nem folytonos, vagy nem differenciálható, az általában valami jellemző tulajdonságból kiderül: [link]

Ha ezt egyenlővé teszed 0-val, akkor van esélyed kideríteni a szélsőértéket.

Persze vannak más lehetőségek is ennek kiderítésére; némiképp ritkábban, de működik az a lehetőség, amit te felvázoltál. Első körben vizsgáljuk meg a függvény értelmezési tartományát, ehhez nézzük meg, hogy a nevező mikor 0;

x^2 + 4x + 5 = 0, ha ezt megoldjuk, akkor azt kapjuk, hogy nincs valós megoldása, tehát a függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ami még kell, hogy tudjuk, hogy a függvény folytonos, ezt most nem fejteném ki annyira, mert nem ez a lényeg.

Nézzünk egy konkrét példát, hogy megértsd, mi is folyik itt; tegyük fel a kérdést; hol veszi fel ez a függvény a 0-t? És ezt hogyan lehet kiszámolni? Utóbbi kérdésre a válasz az, hogy egyenlővé tesszük 0-val;

(x^2+3x+3)/(x^2+4x+5) = 0, szorzunk,

x^2+3x+3 = 0, ennek megoldása a megoldóképlettel az, hogy nincs megoldása, tehát nem veszi fel értéknek a 0-t.

Felveszi-e az 1-et? Nézzük meg ugyanúgy;

(x^2+3x+3)/(x^2+4x+5) = 1, szorzunk,

x^2+3x+3 = x^2+4x+5, rendezés után -2=x adódik, tehát a függvény felveszi az 1-et x=-2 esetén.

Felveszi-e az 1,2-et? Megint egyenletet írunk fel;

(x^2+3x+3)/(x^2+4x+5) = 1,2, szorzunk:

x^2+3x+3 = 1,2x^2+4,8x+6, rendezünk:

0 = 0,2x^2+1,8x+3, ennek pedig két megoldása is van; x=~-6,8 és x=~-2,2, tehát az 1,2 értéket a függvény két helyen is felveszi.

Hogy ezt ne kelljen minden egyes számra eljátszanunk, ezért megoldjuk általánosan, vagyis a függvényt y-nal egyenlővé tesszük;

(x^2+3x+3)/(x^2+4x+5) = y, és ugyanazokat a lépéseket meglépjük; szorzunk:

x^2 + 3x + 3 = y*x^2 + 4y*x + 5y, 0-ra redukáljuk a bal oldalt:

0 = (y-1)*x^2 + (4y-3)*x + (5y - 3)

Ez egy majdnem mindig másodfokú paraméteres egyenlet, ahol y a paraméter. Azért majdnem mindig, mert ha y=1, akkor egy elsőfokú egyenletet kapunk, aminek mindig van valós megoldása, tehát az 1-et, mint értéket felveszi az eredeti függvény (ahogy az előbb láthattuk is). Minden más esetben ez egy másodfokú paraméteres egyenlet, aminél kérdés, hogy az y mely értékei mellett lesz ennek az egyenletnek legalább egy megoldása. Ehhez csak a megoldóképlet diszkriminánsát kell megvizsgálnunk; akkor lesz megoldás, hogyha a diszkrimináns értéke legalább 0:

(4y-3)^2 - 4*(y-1)*(5y-3) >=0, rendezés után egy másodfokú egyenlőtlenséget kapunk, aminek megoldása: 1,5 >= y >= 0,5. Ez azt jelenti, hogy az eredeti függvény ezeket, és csak ezeket az értékeket felveszi valahol, tehát az eredeti függvény értékkészlete a [0,5;1,5] zárt intervallum, tehát a függvény korlátos, legnagyobb alsó korlátja (infémuma) 0,5, ami egyben a függvény globális minimuma is, legkisebb felső korlátja (suprémuma) 1,5, ami egyben a globális maximuma is.

Ezzel az eljárással gyakorlatilag az eredeti függvény inverzét adtuk meg (a megfelelő megkötések mellett), ami azt jelenti, hogy az értelmezési tartományt felcseréltük az értékkészlettel, így tehát gyakorlatilag a hozzárendelés iránya felcserélődött, ezzel pedig az újonnan kapott függvény (amit a megoldóképletből kaptunk) értelmezési tartományát kellett vizsgálnunk. Ezt azért tartottam érdemesnek megjegyezni, mivel ha majd az lesz a feladat, hogy add meg egy függvény inverzét, akkor majd ugyanezt kell csinálnod, vagyis a függvényt egyenlővé tenni y-nal, és addig rendezni, amíg x=valami nem lesz a vége.

Átalakítható így:

f(x)=1 - 1/((x+2)+1/(x+2))

Ez esetben 0-tól különböző valós szám és reciprokának összegére vonatkozó egyenlőtlenség alkalmazható.

( [link] 2.