Függvény korlatossaga??

Egy lehetséges megoldás;

Először is megnézzük a nevezőt, hogy lehet-e az értéke 0, és azt látjuk, hogy nem.

Tegyük fel, hogy a függvényérték c, ekkor ezt az egyenletet kapjuk:

(x^2+3x+3)/(x^2+4x+5) = c, szorzunk a nevezővel:

x^2 + 3x + 3 = c*x^2 + 4c*x + 5c, redukáljuk a bal oldalt 0-ra:

0 = (c-1)*x^2 + (4c-3)*x + (5c-3)

Ha c=1, akkor egy elsőfokú egyenletet kapunk, aminek lesz megoldása, tehát a függvény az 1-et felveszi értéknek.

Ha c=/=1, akkor egy másodfokú függvényt kapunk, aminek a megoldása a megoldóképlet értelmében:

x1;2 = ( -(4c-3) +- gyök[ (4c-3)^2 - 4*(c-1)*(5c-3) ] )/ 2*(c-1)

Az egyenletnek akkor lesz (valós) megoldása, hogyha tudunk gyököt vonni, tehát a gyökjel alatti rész nagyobb kell, hogy legyen 0-nál:

(4c-3)^2 - 4*(c-1)*(5c-3) >= 0, rendezés után:

-4c^2 + 8c - 3 >= 0, ennek megoldása pedig

1/2 <= c <= 3/2

Mivel c a függvény által felvett függvényeket jelölte, ezért a függvény értékkészlete az [1/2 ; 3/2] zárt intervallum, tehát a függvény korlátos, legnagyobb alsó korlátja (infimuma) 1/2, legkisebb felső korlátja (szuprémuma) 3/2, és mivel ezeket fel is veszi a függvény, ezért egyben minimum és maximum is ez a két érték.

Az is teljesen jó amit az első írt, de így sokkal egyszerűbb:

A függvény pluszminusz végtelenben vett határértékei végesek (mindkettő 1) és a függvény folytonos, tehát korlátos. Voilá, ennyi a levezetés.

Egy másik megoldás, amely egyáltalán nem olyan elegáns, mint az első válaszolóé, de választ ad arra, hogy a fenti függvény korlátos.

1. lépés: Először megmutatom, hogy a függvény alulról korlátos. A számlálót és a nevezőt is teljes négyzetté alakítottam.

x^2+3x+3 = (x+1,5)^2 + 0,75

x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1

A teljes négyzetté alakított alakból látható, hogy mindkét másodfokú kifejezés kizárólag pozitív értékeket vesz fel, tehát a hányadosuk esetén pozitív számot osztunk pozitív számmal, ami mindig pozitív lesz. Következésképp a függvényünk sosem vesz fel negatív és 0 értékeket. Így a 0 tökéletesen megfelel alsó korlátnak.

2. lépés: Megmutatjuk, hogy a függvény felülről is korlátos. Bevallom, hogy függvényábrázoló programmal kirajzoltam a függvényt és látható, hogy például a 2 megfelel felső korlátnak. Indirekt feltesszük, hogy a függvényünk nagyobb, mint 2, azaz megoldjuk a következő egyenlőtlenséget:

(x^2+3x+3) / (x^2+4x+5) > 2

Nevezővel beszorzunk.

x^2 + 3x +3 > 2x^2+8x+10

0-ra rendezzük az egyenlőtlenséget.

0 > x^2 + 5x+7

Teljes négyzetté alakítom a jobb oldalt.

0 > (x+2,5)^2 + 0,75

Ellentmondásra jutottunk, hiszen a jobb oldali kifejezés semmilyen valós x esetén nem lesz 0-nál kisebb. Így az indirekt bizonyítással beláttuk, hogy a 2 megfelel felső korlátnak.

3. lépés: Mivel a függvényünk alulról és felülről is korlátos, így beláttuk, hogy korlátos.

Megjegyzés: Láthatod, hogy első válaszoló precízen megtalálta a legnagyobb alsó korlátot, ami 0,5, és a legkisebb felső korlátot, ami 1,5. A mostani bizonyításban nem találtunk rá ezekre a nevezetes korlátszámokra, de választ sikerült adnunk a korlátosság igazolására.