Hogyan kell az ilyen matek egyszerűsítéseket megoldani?

(R^2 + x^2) az maga a kifejezés első hatványa

sqrt(R^2 + x^2) pedig (R^2 + x^2) 0,5-edik hatványa. Azonos alapú hatványokat szorzunk, tehát a kitevők összegére emeljük : 1+0,5=1,5

Vagy pedig beviszel a gyökjel alá és akkor sqrt((R^2 + x^2)^3) lesz, és ezt felírod racionális kitevőként.

No de itt ugyanúgy (R^2 + x^2) van mindkét kifejezésben! Akár jelölhetnéd egyetlen betűvel is, pl. A = (R^2 + x^2). Ekkor csak annyi lenne a kifejezés, hogy A * sqrt(A). A gyökvonás azonban felírható tört kitevőként is: sqrt(A) = A^(1/2). Az A * sqrt(A) tehát felírható A * A^(1/2) formában, sőt, A^1 * A^(1/2) is, mert így jól látszik, hogy két azonos alapú hatványt szorzunk össze, amiről meg tudni kell, hogy a szorzást a kitevők összeadásával végehetjük el legegyszerűbben:

A^1 * A^(1/2) = A^(1 + 1/2), azaz A^(3/2).

Vedd észre, hogy magával az A alappal semmit nem csináltunk, csak a kitevőkkel dolgoztunk, tehát az A tulajdonképpen bármi lehetett volna, az összefüggés akkor is fennállna.

Mivel azt mondtuk, hogy A = (R^2 + x^2), ezért a végeredményben az A helyére visszaírhatjuk az eredeti kifejezést: (R^2 + x^2)^(3/2).

A hatványozás ugye szorzást jelent a "színfalak mögött", tehát mindig kifejthető szorzatként, pl. a³*b³ = a*a*a * b*b*b.

De mivel a szorzásokat tetszőleges sorrendben elvégezhetjük, ezért úgy is csoportosíthatjuk őket, hogy az a-k és a b-k felváltva kövessék egymást:

a*b * a*b * a*b – ez viszont nyilván könnyedén felírható hatványalakban: (a*b)³. Tehát a³*b³ = (ab)³.

Ha viszont az alapok is eltérnek és a kitevők is, pl. a³*b², akkor sokat nem tudsz tenni, mert az egyszerűsítés inkább bonyolítás lesz. Ha kifejtjük: a³*b² = a*a*a * b*b.

Ezt felírhatjuk megint váltakozva, de nyilván nem lesz minden a-nak párja: a*b * a*b * a. Ezt ugyan felírhatjuk hatványalakban, hogy (ab)² * a, vagy akár a(ab)², de ennél még az eredeti a³b² is sokkal egyszerűbben leírható és értelmezhető.