Ez lineáris algebra feladat csak ennyi lenne, vagy másképp kellene megoldani?

A feladat:

Legyen "a" =(1,1,1) és "A" az az R^3-on értelmezett lineáris transzformáció, melyre igaz, hogy A*r = a × r, minden "r" eleme R^3 esetén. Határozza meg A-t a szokásos bázisban

Megoldás:

Legyen "a" = (a1, a2, a3) és "r" = (r1, r2, r3) két vektor az R^3-ban. Ekkor a keresztszorzatuk "a × r" az alábbi módon számítható:

a × r = (a2*r3 - a3*r2, a3*r1 - a1*r3, a1*r2 - a2*r1)

És a feladat szerint ez egyenlő ezzel: A*r

Emiből az jön ki, hogy

A =

| 0 -a3 a2 |

| a3 0 -a1 |

|-a2 a1 0 |

ebbe "a" = (1,1,1)-et behelyettesítve ez lesz a megoldás:

| 0 -1 1 |

| 1 0 -1 |

|-1 1 0 |

Így kell megoldani ezt a feladatot?