Hogyan lehet meghatározni az m valós értékét úgy, hogy {x ∈ R|(m + 1)x^2 − 2(m − 1)x − m = 0} ∩ [0, 1] = ∅ ?

Magyarán az a kérdés, hogy a (nem mindig) másodfokú egyenletnek mikor lesz mindkét megoldása a [0;1] intervallumon kívül.

Először is, ha m=-1, akkor egy lineáros függvényt kapunk:

4x+1=0, ennek megoldása x=-1/4, ami az intervallumon kívül van, tehát az m=-1 megoldás lesz.

Ha ettől eltérő megoldást keresünk, akkor másodfokú egyenletet kapunk. A megoldásokat fel tudjuk írni a megoldó képlet segítségével (a különféle zárójelek csak a jobb áttekinthetőséget szolgálják):

"mínuszos" megoldás: [ 2(m-1) - gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m-1))

"pluszos" megoldás: [ 2(m-1) + gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m-1))

Ahhoz, hogy a megoldások kiessenek az intervallumból, ahhoz 4 lehetőségünk van;

1) lehetőség: mindkét megoldás kisebb 0-nál, vagyis

[ 2(m-1) - gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m-1)) < 0 ÉS

[ 2(m-1) + gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m-1)) < 0

Ennek a két egyenlőtlenségnek egy időben kell teljesülnie, tehát ezek egyenlőtlenségrendszert alkotnak. A lényeg, hogy külön-külön megoldjuk őket, és a végén meg kell néznünk, hogy amelyik számok elégítik ki mindkét egyenlőtlenséget. Mivel a nevezőben negatív érték is lehet, ezért felszorzáskor (már ha úgy csináljuk) figyelembe kell venni azt is, hogy olyankor a relációs jel megfordul.

2) lehetőség: mindkét megoldás nagyobb 1-nél:

[ 2(m-1) - gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m-1)) > 1 ÉS

[ 2(m-1) + gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m-1)) > 1

Hasonló a helyzet itt is, mint az előbb.

3) lehetőség: az egyik nagyobb 1-nél, a másik kisebb 0, tehát

[ 2(m-1) - gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m-1)) < 0 ÉS

[ 2(m-1) + gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m-1)) > 1

VAGY

[ 2(m-1) - gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m-1)) > 1 ÉS

[ 2(m-1) + gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m-1)) < 0

Itt azért kell kétféleképpen felírni, mert a főegyüttható lehet negatív is, ekkor a gyökök sorrendje "felcserélődhet", emiatt minkdét megoldás lehet mindkét térfélen.

4) lehetőség: nincs megoldása az egyenletnek (ugyanis ∅ ∩ [0, 1] = ∅ akkor is teljesül), ehhez csak azt kell megnéznünk, hogy a diszkrimináns (a gyökjel alatti rész) mikor lesz 0-nál kisebb:

(2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) < 0, ezt is csak simán megoldjuk.

A különféle lehetőségekben kapott eredmények lesznek a keresett értékek m-re.

Sajnos egyszerűbb megoldást nem tudok így hirtelen.

Kicsit egyszerűbben úgy tudjuk megoldani, hogy azt nézzük meg, hogy mikor fog legalább az egyik megoldás beleesni az intervallumba. Ezzel a ROSSZ m-eket tudjuk megkapni, ebből tudjuk a JÓkat meghatározni. Tehát ezt a két egyenlőtlenséget kell megoldanunk;

0 <= [ 2(m-1) - gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m+1)) <= 1

VAGY

0 <= [ 2(m-1) + gyök{ (2(m-1))^2 - 4*(m+1)*(-m) } ] / (2*(m+1)) <= 1

Azok az m-ek lesznek rosszak, amelyikek LEGALÁBB az egyik egyenlőtlenségnek megoldásai. Illetve az m=-1 minden körülmények között megoldás lesz most.

Most látom csak, hogy a 2-es választ elírtam, ott mindenhol 2*(m+1)-nek kell lennie a nevezőben.

Itt van a megoldás:

[link]