Matek! Sorozatok? Kérdésed túl rövid, a magyarázatod hosszú.

Tudom. Már biztosan késő a válasz. De amit a belinkelt oldal számol az hihetetlenül bonyolult. És hogy valaki még azt is hozzá merészelte tenni, hogy jó a megoldás, és nincs más megoldás...

Sokkal egyszerűbb úgy kiszámolni, hogy a3-ból kiindulva írod fel a3-mal és q-val az egyebleteket, majd mindkettőből kifejezed az a3-at és a kettőt egyenlővé teszed. Az egészben a legbonyolultabb egy primitív másodfokú egyenlet megoldása.

Ja, most esett csak le, hogy az az egyetértés csak azt jelenti, hogy egy program közelítő módszerrel kiszámolja. Bocsi.

De a leírt megoldás akkor is értelmetlenül bonyolult.

Az algebrai ,,terhet'' sokféleképp lehet ,,átpakolászni'' a feladat ,,fogalmi mezőjén'', de az ,,összteher'' az ugyanaz marad, kivéve, ha valami jelentős új gondolatot, ötletet is bevet valaki.

Egyelőre az Általad írt megoldás algebrailag ugyanolyan nehéznek bizonyult, mint az enyém, főleg, mivel nem látszik, hogyan szabadultál meg a reciprok tagtól (a₂ mint a₃/q, az a₃-ra való kifejezés után 1/q tagként marad benn az egyesített egyenletben).

Ha mégiscsak volt jelentős új ötleted, az a fent megadott leírásból még nem derült ki.

Ha pedig nem sikerült közvetlenül megszabadulnod a reciprok tagtól, akkor a Te megoldásod is éppúgy csak harmadfokú egyenletre vezet, mint az enyém, sőt a két módszer algebrailag meglehetősen hasonlatosnak tűnik. A reciprok tagot, konstans tagot, másodfokú tagot tartalmazó egyenlet ugyanazt az nehézséget hordozza, mint az én harmadfokú egyenletem, lényegében maga is egy burkolt harmadfokú egyenletnek tekinthető.

Továbbra is azt tartom, hogy nagyon is lehetséges olyan levezetés, ami barátságosabb, mint az enyém: az enyém sajnos a feladattól részben idegen algebrai fogalmakkal bajlódik. Olyasvalaki, aki jól ismeri a sorozatokkal kapcsolatos összefüggéseket, az esetleg képes közvetlenül a sorozatok témaköre alapján is valamilyen szellemes, jól érthető levezetést találni.

Az is lehetséges, hogy még algebrai módon is lehet sokkal érthetőbb levezetést találni.

Azonban az Általad vázolt algebrai ötletek csak sima átfogalmazások, nem látom az érdemi továbblépést az enyémhez képest. Ha mégis van a Tiédben ilyen jelentős továbblépő új ötlet, akkor az meg nem volt leírva, nem derül ki, mi az.

A Wolfram Alpha-ban az volt a lényeg, hogy jó okunk van rá, hogy arra számítsunk: a megoldás egyértelmű, nincs két különböző megoldás. Megoldás alatt itt magát a megoldáshalmazt értem, nem pedig a levezetési ötletet.

Amennyire megértettem, megpróbálom levezetni az Általad javasolt módszert:

[link]

egyelőre úgy tűnik számomra, hogy ez csak egy egyszerű átfogalmazás, érdemi továbblépés nélkül, a bonyolult részek változatlanul bennmaradnak a levezetésben.

Egyébként a kritika téves, ugyanis a levezetésem nem ,,értelmetlenül'' vagy ,,hihetetlenül'' bonyolult, sőt algebrai értelemben eléggé világos.

A bajom a saját megoldásommal sokkal inkább az, hogy a feladat eredeti témakörétől (sorozatok) idegen eszközöket vet be. Ez matematikai értelemben nem baj, még csak nem is áttekinthetetlen, de szerencsésebb lenne oktatási szempontból, ha közvetlenül a sorozatok fogalomrendszere alapján lehetne utat találni.

Így van, ahogy a kérdező leírta. Az én variációm csak abban különbözik, hogy nem a_1-ből indultam ki.

A belinkelt egyszerűbben megoldási oldalon az a gáz, hogy sokkal egyszerűbben is lehet.

a_3/q+a_3=42 szozozzuk q-val: a_3+a_3*q=42q

a_3-at kiemeljük a_3*(1+q)=42q Ebből a_3=42q/(1+q)

A másik egyenletből is kiemeljük a_3-at: a_3(q^2-1)=84 Ebből a_3=84/(q^2-1)

(Persze az osztás miatti q=+-1 értékeket le kell ellenőrizni külön.)

A két jobb oldalt egyenlővé tesszük:

42q/(1+q)=84/(q^2-1)

42q/(1+q)=84/(q+1)*(q-1)

42q=84/(q-1)

Sima kis másodfokú.

És ez egyszerűbb? Mivel én elég sok magyarázó élőszöveget írtam, ezért az egyetlen tisztességes összehasonlítási mód az algebrai lépések számának összehasonlítása (az alkalmazott algebrai átalakítások száma). Lépésszámra mennyiben egyszerűbb a Tiéd, amikor több lépésből áll? És az alkalmazott fogalmak száma sem tűnik kevesebbnek.

A lényeg egyébként is másutt rejlik. Azt érdemes meglátni, hogy mindhárom megoldás mélyén UGYANAZ az alapötlet rejlik. Ez pedig az

q² - 1 = (q +1) (q - 1)

azonosság felismerése volt. Ennek köszönhetjük, hogy nem kellett harmadfokú egyenlettel bajlódnunk. Enélkül a feladat középiskolai eszközökkel megoldhatatlan lenne. Ha a feladat kitűzésében egy-két számadatot elrontanék, akkor nem is lehetne használni a

q² - 1 = (q + 1)⋅(q - 1)

azonosságot. Nem is véletlen, hogy a feladatot épp ezekkel a számadatokkal tűzte ki a tanár. Ha elírta volna akár csak egy tag együtthatóját vagy előjelét is, akkor a feladat középiskolai megoldását már nem is várhatta volna el.

A lényeg tehát nem az a₃-ra felírás, vagy az egyenlővé tétel, hanem az q² - 1 = (q +1) (q - 1) kiaknázása. Ezt sokféleképp illeszthetjük be a levezetés menetébe, az ezt kihasználó levezetések algebrailag egyenértékűek.

A három levezetés közül a legjobb a Kérdező által írt levezetés volt, mert ELEVE mindjárt az elején úgy végezte el a kiemeléseket, hogy minden fölösleges holtágat eleve levágjon. Ezért itt mindjárt az elején ki tudta aknázni a feladat lényegi magvát alkotó

q² - 1 = (q +1)⋅(q - 1)

azonosságot, ezáltal rögtön az elején olyan alakot sikerült kihozni, hogy sem bonyolult reciprok alakok, sem pedig harmadfokú alakok egy pillanatra sem bukkantak fel a levezetés során. Ezért ez a levezetési mód nevezhető a legbarátságosabbnak.

Én sajnos legalábbis egy holtágat bennehagytam az elején, és nem a legközvetlenebb módon végeztem a kiemelést. Ezért a levezetés során egy pillanatra harmadfokú alak jelent meg, igaz, arról mindjárt látszott, hogy alkalmas átalakítással tovább lehet lépni belőle. A másodfokú egyenlet alakjáig hat algebrai lépésben jutottam el.

Optimális holtág-levágást Te sem alkalmaztál, ezért Te sem jutottál el 6 lépésnél kevesebből a másodfokú egyenletig, sőt ha következetesen, algebrai átalakításonként számolok, úgy még jóval több lépés is kellett. Te egyszerűen más helyre toltad át a terhet: a Te levezetésed esetében a reciprok alakok használatával ,,vitted el a súlyt''.

Mindhárom esetben az a lényeg, hogy olyan különleges alakú harmadfokú egyenlet rejlik a példában, ami a már említett q² - 1 = (q +1)⋅(q - 1) azonosság alkalmazásával nagyon könnyen másodfokú alakra hozható. A Kérdező levezetésének fő erénye az volt, hogy ezt az ide vezető egyszerűsítéseket mindjárt az elején meg tudta tenni, így a harmadfokú alak látszólag fel sem bukkantam példában.

Én engedtem felbukkanni a harmadfokú alakot átmenetileg.

A harmadfokú alak Nálad is ugyanúgy felbukkant átmenetileg, csak Te azt reciprok tagokat tartalmazó egyenlet álcájában szerepeltetted, de ez algebrailag ugyanazt a bonyolultságot jelenti (burkolt harmadfokú). Az egyszerűsítést aztán Te is megtetted innen.

Az össz-lépésszám több Nálad, mint nálam, de ez most már úgysem számít, mert az említett okok miatt (azonnali holtág-levágás) a Kérdező megoldása mindkettőnknél kedvezőbb, már lépésszámra is.

Oké Mester! Te vagy a legjobb! Te vagy a legokosabb! Bocs, hogy ellent akartam mondani!

(A véleményemet azonban továbbra is fenntartom, még ha nem is kapok rá engedélyt.)