Van-e olyan x és y természetes szám, amelyre teljesül, hogy a 17 osztója a 20x-11y-nak, de nem osztója a 46x + 7y-nak?

Általában, ha 17-tel oszthatóságról van szó, akkor a szám (vagy kifejezés) 17-es maradéka nem változik, ha 17-tel osztható számokat adunk hozzá, vagy vonunk le belőle. Tehát elkezdhetünk ilyen szamokat hozzáadni, vagy levonni az első és második kifejezésből, úgy, hogy az együtthatók csökkenjenek.

Pl. levonhatunk hozzáadhatunk 17x-et, 17y-t vagy akár 20x-11y-t. Vagy az utóbbi leszármazottjait.

Azután ahogy csökkennek 46x+7y együtthatói, valami majd csak kiderül. Nem próbáltam ki, de én erre keresgélnék.

Mielőtt valaki megírja a teljes megoldást és elveszi a gondolkodás örömét.

Nincs ilyen számpáros, a következők miatt:

Ha 20x-11y osztható 17-tel, akkor 3x-11y is (mert 17x biztosan osztható 17-tel, tehát az le lehet vonni a kifejezésből). Ha x=17n+a és y=17m+b, akkor a fenti összefüggésből levezethető, hogy 3a=11b (ahol a és b nem lehet 0, mert másképp a 46x+7y biztosan osztható lenne 17-tel, és ez ütné a kiindulási feltételeket).

Tehát ott tartunk, hogy 3a=11b, vagyis 12a=44b.

A 46x + 7y is egyszerűsíthető 12x + 7y-ra, mert a 34x osztható 17-tel. Tekintettel arra, hogy 12a = 44b, a 12x + 7y-ból az lesz, hogy 12(17n+a) + 7(17m+b) = 12*17n + 44b + 7*17m + 7b.

Mivel 44b + 7b = 51b, és 51 osztható 17-tel, a 46x + 7y mindig osztható lesz 17-tel, ha az első feltételt hagyjuk teljesülni.

#3

Ahogy a 2-es hozzászólás utolsó mondatában írtam. :-(

A házifeladatkérőknek nem kellene azonnal teljes megoldást adni, mert így nem mennek át a gondolkodási folyamaton, nem edzik az agyukat. Nem javul a problémamegoldóképességük.

#5

Szerencsére ebben a példában sokféle módon lehet bizonyítani az állítást, úgyhogy a kérdezőnek azért maradt gondolkodni való. :-)

"a szám (vagy kifejezés) 17-es maradéka nem változik, ha 17-tel osztható számokat adunk hozzá, vagy vonunk le belőle."

Vagyis, ha osztható volt 17-tel, akkor osztható is marad. És fordítva: ha a levonás/után után láthatóan osztható lett 17-tel, akkor eredetileg is osztható volt. Erre koncentrálj, amikor a 3-as megoldást próbálod követni.

Egy összeg oszthatósága, ha a tagok nem oszthatóak 17-tel, amerre elindultál, lényegében zsákutca. Nem vezet el a megoldáshoz.

Majd ha oda jutottál, hogy feladod az önálló megoldáskeresést, akkor írhatok egy egyszerűbben átlátható formájú bizonyítást.