Tudna ebben a feladatban segíteni?

Először próbáljuk kitalálni, hogy mit kell bizonyítani.

Vannak olyan számok, ahol a legnagyobb közös osztó csak 1. Pl. 13 és 31. Ezért nyilván nem minden számra igaz szabályt keresünk, hanem azt a számot, ahol legnagyobb az ilyen közös osztó.

Vannak csupa páros számból álló számok. Pl. 8642. Ott a 2 biztosan közös osztó.

Más példák, ahol minden számjegy osztható egy számmal: 84, 63, 639. 5-tel vagy nagyobb számokkal osztható és különböző, de nem 0 számjegyekből ilyet nem lehet összeállítani.

Azután vannak olyan szabályok, ahol az összeg oszthatósága biztosítja az oszthatóságot. 3-as szabály, 9-es szabály: 12 18.

Két ilyen ötlet kombinációja a 84, 48, ami 4*3=12-vel osztható.

Akkor próbáljuk bizonyítani, hogy 12 a legnagyobb közös osztó, ami megfelel a feladatnak.

Először azt érdemes bizonyítani, hogy a 2 jegyű számok között nincs 12-nél nagyobb közös osztó.

Utána azt, hogy a 3 vagy több jegyű számoknál soha nem lehet jobb a helyzet, mint a kétjegyűeknél.

Ez a két bizonyítandó dolog csak sejtés a részemről.

1. segítség:

Jelöljük d-vel a legnagyobb ilyen osztót.

Ekkor egy n számjegyű szám, ahol k_i pedig az i-edik számjegy:

N = 10^n*k_n + 10^(n-1)*k_(n-1) + ... + 10*k_1 + k_0

Ekkor a számjegyek cseréjére felírva az oszthatóságot:

d|N <=> d|N - 10^i*k_i - 10^j*k_j + 10^i*k_j + 10^j*k_i

=> d|- 10^i*k_i - 10^j*k_j + 10^i*k_j + 10^j*k_i

#2

Ez nagyon jó segítség.

Rögtön találtam 12-nél nagyobb közös osztójú számot. Az én megoldásom nem állja meg a helyét.