Tudna segíteni valaki ebben a geometria feladatban?

Tisztán geometriai megoldást nem találtam, csak trigonometrikusat; az ABC háromszögben fel tudjuk írni a szinusztételt (az AC hosszát vegyük egységnek):

BC / 1 = sin(48°) / sin(54°), innen BC = sin(48°)/sin(54°) =~ 0,9185775.

A BCD háromszögben a C-nél fekvő szög 30°-os, a D-nél fekvő szög 132°-os, így a B-nél fekvő szög 18°-os. Itt is fel tudunk írni két szinusztételt;

CD / BC = sin(18°) / sin(132°), rendezés után CD = 0,3819660.

BD / BC = sin(30°) / sin(132°), rendezés után BD = 0,6180340.

Három szakaszból akkor szerkeszthető háromszög, hogyha teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, vagyis a legnagyobb oldal kisebb a másik két oldal összegénél, vagyis

1 < 0,3819660 + 0,6180340, mivel a jobb oldal értéke 1, ezért 1<1, ami nem igaz, tehát nem szerkeszthető.

Persze ez önmagában még bizonyítja, mert a kerekítésekből adódóan lehet, hogy pont ellenkezőleg van. De ez a levezetés azt sejteti velünk, hogy a két kisebb szakasz hossza valójában ugyanakkora, mint a harmadik, és ezért nem lehet belőlük háromszöget szerkeszteni. Tehát ezt kell belátnunk.

Itt van egy teljesen elemi bizonyítás:

Belátjuk, hogy x:= CD, y:= DB, z:= AC jelölésekkel z = x + y, így nem szerkeszthető valódi háromszög.

Legyen E D-nek a CB-re vonatkozó tükörképe. E rajta van az ABC△ körülírható körén, hiszen CEB∡ + CAB∡ = 132° + 48° = 180°. ACEB◻ húrnégyszög, CDE△ szabályos, EDB△ egyenlő szárú, DE = x és EB = DB = y.

Legyen F az AC szakasz egy pontja úgy, hogy CF = x teljesülön (z > x, mert szögvizsgálattal z = AC > CB > x). G legyen az FE egyenes és a körülírt kör metszéspontja. FCE△ egyenlő szárú. ACEB◻ húrnégyszög ⇒ FCE∡ = ACE∡ = 180° - ABE∡ = 180° - 72° = 108° ⇒ CEF∡ = CFE∡ = 36° = GFA∡. ABC∡ = 54° = CEA∡, mert a CA húrhoz tartozó kerületi szögek. GEA∡ = AEC∡ - CEG∡ = 54° - 36° = 18° = CBE∡ ⇒ GA = CE = x, mert ugyanolyan nagyságú kerületi szög ugyanolyan hosszúságú köríveket (és így húrokat) metsz ki. CEG∡ = 36° = GAC∡, mert a GC húrhoz tartozó kerületi szögek. Adódik, hogy AGF△ egyenlő szárú, AG = GF = x és AF = z-x.

Toljuk rá a GFA△-et az EDB△-re úgy, hogy D = G és E = F legyen, továbbá az A és B csúcsok a DE egyenesnek ugyanarra a félsíkjára essenek. DAE∡ = DBE∡ = 36° ⇒ A rajta van EDB△ körülírható körén. BDE∡ = 72° = BAE∡, mert a BE húrhoz tartozó kerületi szögek. DEA∡ = 36° = DBA∡, mert a DA húrhoz tartozó kerületi szögek. Kapjuk, hogy ABE∡ = 72° = EAB∡ ⇒ AEB△ egyenlő szárú, így z - x = y, amit bizonyítani kellett.