Le tudná nekem vezetni valaki az alábbi polinomokkal kapcsolatos feladatokat?

Ha egy polinom gyöke x0, akkor fel lehet írni

(x-x0)*(egyel alacsonyabb rendű polinom) alakban.

Az 1 megoldásához el kell osztani a polinomot (x-2)-vel. Annyiszor, ahányszor osztható. És annyiadik fokú lesz a gyök.

A második feladathoz pont fordítva, szorozni kell. És ha megvan a harmadrendű polinom, akkor be kell helyettesíteni a 2-t. Ha nem -15 jön ki, akkor minden együtthatót meg kell szorozni ugyanannyival. Hogy -15 legyen a p(2) értéke.

Gyök: ahol 0 a polinom.

pl.: (x-3)*(x+2)*(x+5) polinom x= 3, -2, és -5 helyen nulla. Vagy: 3,-2, 5 a gyöke a polinomnak.

pl.: (x-4)*(x-4)*(x+1)*(x+1)*(x+1) polinom x=4 és -1 helyen veszi fel a 0-át. Vagy 4 és -1 a gyöke a polinomnak. DE 4 2-szeres, -1 pedig 3-szoros multiplicitású gyöke.

A fenti polinom alakot a polinom gyöktényezős alakjának nevezzük, amelyből leolvashatóak a zérushelyek/gyökök és azok előfordulása/multiplicitása.

1.------------

x=2 behelyettesít:

32-3*16-8+7*4-4 = 0 , tehát a 2 gyöke/zérushelye.

Polinomosztás:

x^5−3x^4−x^3+7x^2−4 / (x-2) = x^4 maradt -x^4-x^3+7x^2−4

-x^4-x^3+7x^2−4 / (x-2) = -x^3 maradt -3*x^3+7x^2−4

-3*x^3+7x^2−4 / (x-2) = -3*x^2 maradt x^2-4

x^2-4 /(x-2) = x + 2

Tehát:

x^5−3x^4−x^3+7x^2−4 / (x-2) = x^4 -x^3 -3*x^2 + x +2

x=2:

16-8-3*4+2+2=0

Tehát ismét zérushelye/gyöke.

Polinomosztás:

x^4 -x^3 -3*x^2 + x +2 / (x-2) = x^3 maradt x^3 -3*x^2 + x + 2

x^3 -3*x^2 + x + 2 / (x-2) = x^2 maradt -x^2 + x + 2

-x^2 + x + 2 /(x-2) = -x maradt -x + 2

-x+2/(x-2) =-1 maradt 0

Tehát:

x^4 -x^3 -3*x^2 + x +2 / (x-2) = x^3 + x^2 -x -1

x=2:

8+4-2-1=9 már nem zérushely.

x=2 gyök 2-szeres multiplicitású.

x^5−3x^4−x^3+7x^2−4 = (x-2)*(x-2)*(x^4 -x^3 -3*x^2 + x +2 )

2.-------------

a*(x-1)*(x+1)*(x+3)-> x=2 esetén =-15

a(2-1)(2+1)(2+3)=a*1*3*5=-15

a*15=-15

a=-1

#2

Nem kellene teljesen megoldanod a feladatokat. Ha a kérdezőnek semmit nem kell kitalálnia a megoldás módjából, akkor sokkal kevésbé fogja elsajátítani azt.

A polinomosztásnál egyébként van egyszerűbb megoldás is, amit Horner-elrendezésnek hívnak:

[link]

A Wikipédián szépen le van írva, példa is van hozzá, szóval könnyedén elsajátítható.

Ami még a jelenlegi feladathoz tartozik, az az, hogy a kitöltött táblázatból kiolvashatók az egyébként polinomosztással megkapható polinom együtthatói is:

[link] #Polinomoszt%C3%A1s

Tehát a hosszadalmas polinomosztás helyett sokkal érdemesebb ezt használni.

Ráadásul egyetemi anyag is, szóval olyan hűderejtélyeset most nem mondtam.