Ezeknek a polinomoknak, hogy kéne kiszámolnom a zérushelyét?

Alapvetően a zérushelyet mindig úgy kell kiszámolni, hogy a függvényt egyenlővé teszed 0-val, és az így kapott egyenletet kell megoldani.

Az első esetben nincs bonyolult dolgunk, elvégre az x²-5x+6=0 egyenlet viszonylag könnyen megoldható, még megoldóképlettel is.

A másodiknál a 2x³+6x²-6x-6=0 harmadfokú egyenletet kapjuk, amire szintén van megoldóképlet, bár az esetek többségében inkább kerüljük a használatát. Ebben az egyenletben nyugodtan lehet osztani 2-vel:

x³+3x²-3x-3=0

Alakítsuk át így az egyenletet:

x*(x²+3x-3)=3

Ha a megoldás egész, akkor az csak úgy lehet, hogyha x|3, tehát x lehetésges értékei: -3, -1, 1, 3, ebből azt látjuk, hogy egyik sem megoldás.

Ennek az eljárásnak a továbbfejlesztett verziója a Rolle-féle gyöktétel. A bizonyítás alapelve ugyanaz, amit fent használtunk, csak x-et p/q alakban keressük, ahol p és q egészek, tehát a p/q tört racionális. Ez alapján azt kapjuk, hogy p|3 és q osztója a főegyütthatónak, ami most 1, tehát q|1, így a p/q értékeket aszerint kapjuk, hogy a két halmaz számait hogyan párosítjuk össze. Mivel q értékei csak 1 és -1 lehetnek, ezért ugyanazokat a számokat kapjuk, vagyis a -3, -1, 1, 3 számokat, amik eddig sem voltak megoldások.

Tehát a fenti kifejezés biztosan nem alakítható szorzattá úgy, hogy a keletkező polinomok mindegyikének együtthatója racionális. Így viszont marad a megoldóképlet (vagy a megoldóképlet bizonyításánál felhasznált lépések).

Valószínűnek tartom, hogy az eredeti függvény 2x³-6x²+6x-3 akart lenni, mert ebből ez jön ki:

= 2*(x³+3x²-3x-3), itt pedig a gyakorlott szem észre tudja venni, hogy a zárójelen belül valami (x-1)^3 akar lenni. Erre ezt kapjuk:

= 2*( (x+1)³ - 2 ), ezt egyenlővé tudjuk már tenni 0-val:

2*( (x+1)³ - 2 ) = 0, rendezés után x = köbgyök(2)-1, más valós megoldás nincs.

A másodikban biztos ezek az együtthatók? Csak mert azt nemigen lehet szorzattá alakítani, és nagyon csúnya, végtelen tizedes törtek adódnának zérushelyül.

A harmadikat viszont szorzattá lehet alakítani:

x³-2x-3-(2x-4x²+13) = //ezután zárójel feloldása

x³-2x-3-2x+4x²-13 = //ezután összevonás

x³+4x²-4x-16 = //ezután kiemelés

x²(x+4)-4(x+4) = //ezután egynemű tagok összevonása: mindkét szorzatban szerepel ugyanaz az (x+4) tényező

(x²-4)(x+4) = //ezután a²-b²=(a+b)(a-b) miatt

(x+2)(x-2)(x+4) -- ebből kiolvashatóak a zérushelyek