Hány megoldása van az alábbi egyenletnek?

Egy sincs. Ez értékkészlet vizsgálattal belátható.

A 2cos²x értékkészlete [0; 2] között van, míg az x² + 1/x² értékkészlete [2; ∞[ között van. A két halmaznak van ugyan metszete, a {2}, ezt viszont nem ugyanolyan x érték esetén veszik fel: a bal oldal ±1-nél, a jobb oldal pedig π egész számú többszöröseinél, ami nyilván sosem lesz egyenlő ±1-gyel.

Így nincs olyan x érték, melyre a két kifejezés értéke azonos lehetne.

Ha a feladat esetleg (x^2+1)/x^2 lenne, akkor ennek az értékkészlete az 1-nél nagyobb számok, a jobb oldal értékkészlete a [-2;2] intervallum, tehát azt kell megnézni, hogy a bal oldal mikor esik ebbe, vagyis oldjuk meg az

(x^2+1)/x^2 <=2 egyenlőtlenséget, ennek megoldása x>=1 vagy x<=-1.

Az (x^2+1)/x^2 szigorúan monoton csökken az x>=1-re, határértéke 1, és folytonos, tehát minden értéket felvesz pontosan egyszer 1 és 2 között.

A 2*cos^2(x) szintén folytonos és minden értékét végtelenszer felveszi. A Bolzano-Weierstrass tétel miatt ezek végtelenszer fogják egymást metszeni, tehát az egyenletnek végtelen sok megoldása van.

Ajánlom a desmos.com oldalt, ami egy nagyon fapados függvényrajzoló.

Bármilyen egyenletnek a megoldásait ki tudod rajzolni vele, csak egy az egyben be kell gépelni az egyenletet. Ha a x^2+1/x^2 = 2cos(x)^2 egyenletet begépeled, láthatod, hogy egyetlen megoldása sincs. Ha lenne, akkor függőleges vonalakat rajzolna a program azokra a helyekre, ahol megoldások vannak (Ahol a vonalak metszik az x tengelyt, ott lesznek a megoldások).

Akár ketté is szedheted az egyenletet és külön ábrázolhatod a jobb és bal oldalát. Akkor látni fogod, hogy a két görbe sehol nem metszi egymást. Ha pedig sehol sem metszi egymást, akkor nincs megoldás...

Nyilván nem így kell megoldani a feladatokat, ez csak segítségnek jó.