Mi a megoldása az x^2-3=gyok(x+3) egyenletnek?

Emeljünk négyzetre:

x^4 - 6x^2 + 9 = x + 3

Redukáljuk a jobb oldalt 0-ra:

x^4 - 6x^2 - x + 6 = 0

Most szerencsénk van, mert ennek ránézésre x=1 megoldása lesz (a gyökteszttel is megtalálnánk), ami azt jelenti, hogy (x-1) kiemelhető belőle. Polinomosztással is lehet csinálni, de most könnyű rendezni;

x*(x^3-1) - 6*(x^2-1) = 0, aztán

x*(x-1)*(x^2+x+1) - 6*(x-1)*(x+1) = 0, végül

(x-1)*(x*(x^2+x+1)-6*(x+1)) = 0, tehát ennek egyik megoldása x=1, ami az eredetinek nem megoldása, de nem baj.

Most vizsgáljuk az x*(x^2+x+1)-6(x+1) = 0 egyenletet. Kibontva a zárójeleket:

x^3 + x^2 + x - 6x - 6 = 0, összevonunk:

x^3 + x^2 - 5x - 6 = 0, majd így alakítjuk át:

x*(x^2 + x - 5) = 6

Ha ennek az egyenletnek van egész megoldása, az csak úgy lehet, hogyha x osztója a 6-nak, tehát x lehetséges értékei: -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6. Ezeket végigpróbálva az x=-2 eredményt kapjuk, ami az eredeti egyenletnek is megoldása.

Innen többféleképpen tovább lehet lépni. Ha tudsz polinomosztani, akkor azzal talán a legegyszerűbb, de megtehetjük a következőt is; mivel x=-2 megoldása a feladatnak, ezért (x+2) kiemelhető belőle. Ezt nevezzük el valami másik betűnek, mondjuk x+2=t, ezt átrendezve az x=t-2 összefüggést kapjuk. Ezt írjuk x helyére:

(t-2)*((t-2)^2 + (t-2) - 5) = 6, itt a zárójeleket szépen kibontogatjuk, a jobb oldalt 0-ra redukáljuk:

t^3 - 5t^2 + 3t = 0, és itt tudunk osztani t-vel, így kapjuk a

t^2 - 5t + 3 = 0 egyenlet, amit már a másodfokú egyenlet megoldóképletével meg lehet oldani.

Innen be tudod fejezni?