Mi a megoldása az alábbi egyenletnek a valós számok halmazán?

Hát… Vagy ráereszted a Cardano-képletet: [link]

Vagy próbálgatsz egy kicsit, és észreveszed, hogy például a –3 gyöke, és csinálsz egy polinomosztást (ugye az x + 3 polinommal kell osztani), amivel másodfokúra vezeted vissza.

Vagy ha csak reméljük, hogy van racionális gyöke, akkor kereshetjük az x-et p/q alakban, ahol p és q egészek, relatív prímek is, és feltehetjük, hogy az egyik pozitív. Ekkor az egyenlet:

p^3/q^3 + 5/2*p^2/q^2 – 41/25*p/q – 21/50 = 0,

szorzunk 50*q^3-bel:

50*p^3 + 125*p^2*q – 82*p*q^2 – 21*q^3 = 0,

az utolsó tagot átvisszük a jobb oldalra, és kiemelünk p-t:

p*(50*p^2 + 125*p*q – 82*q^2) = p*(vmiegészszám) = 21*q^3.

Mivel p és q relatív prímek, ezért p nem osztja q^3-öt, még csak közös prímtényezőjük sincs, így p-nek osztania kell 21-et. Ezáltal p csak 8-féle lehet:

–21, –7, –3, –1, 1, 3, 7 és 21.

Hasonlóan lehet azt is, hogy az 50*p^3 tagot visszük át a másik oldalra, és q-t emelünk ki. Ekkor

q*(125*p^2 – 82*p*q + 21*q^2) = q*(egyegészszám) = –50*p^3.

Ebből az derül ki, hogy q|50-nek, tehát csak 12-féle lehet, de a negatív lehetőségeket figyelembe vehetjük p-nél, így elég a 6 pozitív lehetőséget vizsgálni. Szóval q lehet

1, 2, 5, 10, 25 vagy 50.

(Ugye ha p lehetett volna többféle, akkor arról teszem fel, hogy pozitív, és úgy kell kevesebb lehetőséget vizsgálni.)

És akkor most végigpróbálgathatjuk, hogy megoldás-e a

–21/1, –7/1, –3/1,…

–21/2, –7/2, –3/2,…

…

Hát… Nem túl jó móka, de így legalább biztos meglesznek a racionális megoldások. A –3/1 amúgy jó, szóval maradhatunk a polinomosztásnál, megint nem lett kényelmes a racionális gyökteszt… Szóval x0 = –3.

(x^3 + 2,5*x^2 - 1,64*x - 0,42)/(x + 3) = x^2 – 0,5*x – 0,14

–0,5*x^2 – 1,64*x – 0,42

–0,14*x – 0,42

Így a maradék megoldások a x^2 – 0,5*x – 0,14 = 0 egyenlet megoldásai lesznek, erre meg van megoldóképlet:

gyök(D) = gyök(0,5^2 + 4*1*0,14) = gyök(0,25 + 0,56) = gyök(0,81) = 0,9

x1 = 0,5/2 + gyök(D)/2 = 0,25 + 0,45 = 0,7;

x2 = 0,5/2 – gyök(D)/2 = 0,25 – 0,45 = –0,2.

És kész vagyunk.

(x2 kijött volna a p = –1, q = 5 esetnél, x1 pedig a p = 7, q = 10-nél. De hogyhogy nem találkoztam még GyK-n olyan egyenlettel, ahol a racionális gyökteszt a legkényelmesebb megoldás?… Kár.)