Adott az n természetes szám. Hogyan igazoljuk, hogy 2^n+3^n+1,2^n+1 és 3^n közül legfeljebb az egyik osztható 7-tel?

A választ sajnos nem tudom, de legalább a táblázatot sikerült megcsinálnom:

[link]

n-nek a 0-tól 17-ig terjedő értékeire számoltam ki a szóbanforgó kifejezéseket:

2ⁿ+1 alatti oszlop

3ⁿ alatti oszlop

(2ⁿ+1) + 3ⁿ alatti oszlop

látszik, hogy az utolsó tulajdonképp épp az első kettőnek az összege.

Mivel a feladatban 7-tel való oszthatóság volt a kérdés, ezért azt a könnyítést vezettem be, hogy a cellákba nem magukat a kiszámolt értékeket írtam be, hanem csak azoknak a 7-tel való osztási maradékait. Pl. ha valahol épp 7 jött ki, oda azt írtam, hogy 0. Ha valahol meg mondjuk 8 jött volna ki, oda meg azt, hogy 1. Meg 14 helyett szintén 0-t, és 15 helyett meg szintén 1-et. Szóval mintha a számok egy olyan óra számlapján helyezkednének el, amely nem 12-esével, hanem 7-esével ,,megy körbe''. Olyanra gondolok, mint az alábbi képen látható ,,számlapok'' közül az a legjobboldali, kékeszöld, a második legnagyobb.

[link]

Visszatérve a táblázatomra:

[link]

a táblázatban megfigyelhető egy ismétlődés (ezt jelöltem is a vastagabb vízszintes elválasztó vonalakkal: a

2ⁿ+1

oszlopában látható egy 3-asával való ismétlődés.

A

3ⁿ

oszlopában pedig 6-osával való ismétlődés figyelhető meg.

Mivel az utolsó,

(2ⁿ+1) + 3ⁿ

alatti oszlop tulajdonképp nem más, mint az előtte álló két oszlop összege, ezért ez az oszlop értelemszerűen ,,örökli'' a két előző oszlop ,,ritmikáját''.

Mindezzel persze még egyáltalán nem válaszoltam a kérdésre, és ez nem is tekinthető válasznak, bizonyításnak. A választ sajnos nem tudom, csak azért írtam le a táblázatot, hogy legyen mi alapján elindulni.

Szep feladat, ket eszrevetel kell hozza:

3^n soha nem oszthato 7tel, es 2^n+3^n+1=(2^n+1)+(3^n).

Indirekten gondold vegig, tehat tedd fel, hogy van olyan n, amire nem csak legfeljebb 1 osztharo hettel (akkor ez mit is jelent, foleg az elso eszrevetel tukreben?), es erre az n-re nezd meg, hogy mit hozhatsz ki a ket eszrevetel segtsegevel. Azt fogod kapni, hogy a ket esrevetel ellentmondasba fog kerulni ilyen n-re, tehat ilyen n nem letezhet.