Egyenlőtlenség becslésében tudnátok segíteni?

Nem tudom, hogy ez a logaritmusfüggvény honnan jött ki neked, így erre nem tudok tanácsot adni.

Én teljes indukcióval próbálkoznék;

Megnézzük n=1;2;3;... esetére, én ezt most megspórolom. Tegyük fel, hogy n-ig a

[1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n)]^2 < 1/2, egyenlőtlenség igaz, illetve a gyökvonást is nyugodtan elvégezhetjük:

1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) < 1/gyök(2). Nézzük meg, hogy mi a helyzet n+1 esetén, ekkor ezt kapjuk:

[1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(2n) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)]^2 < 1/2

Vonjunk gyököt; nyilván az összeg pozitív lesz, így a "+-"-szal nem kell bohóckodnunk:

1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(2n) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) < 1/gyök(2)

A teljes indukciós bizonyításnál jellemzően arra törekszünk, hogy az indukciós feltétel valahogyan megjelenjen. Ennek megfelelően törekedjünk arra, hogy a bal oldalon a [1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n)]^2 megjelenjen. Ennek megfelelően az egyenlőtlenséghez hozzáadunk 1/(n+1)-et és levonjuk az utolsó két tagot:

1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) < 1/gyök(2) + 1/(n+1) - 1/(2n+1) - 1/(2n+2)

Az indukciós feltétel miatt tudjuk, hogy a bal oldalon lévő kifejezés 1/gyök(2)-nél kisebb, így a bal oldal felülről becsülhető 1/gyök(2)-vel, vagyis ezt kapjuk:

1/gyök(2) < 1/gyök(2) + 1/(n+1) - 1/(2n+1) - 1/(2n+2)

Ha ezt be tudjuk látni, hogy igaz, akkor az eredeti is igaz lesz. Rendezés után:

1/(2n+1) + 1/(2n+2) < 1/(n+1)

Ez pedig egy mezei másodfokú egyenlőtlenség, ami megoldható. Kár, hogy nem azt kapjuk, hogy n>0 vagy valami, úgyhogy sajnos ez a megoldás nem vitt eredményre. Majd még gondolkodom.

"1/(2n+1) + 1/(2n+2) < 1/(n+1)"

Ennek a fordítottja igaz.

1/(n+1)=1/(2n+2)+1/(2n+2) < 1/(2n+1)+1/(2n+2)

Vagyis, ha n nő, akkor 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) is nőni fog.

Ha ilyen módon teljes indukciót akarunk, akkor a végtelenbe menő n-re kell bizonyítani az egyenlőtlenséget. És akkor minden kisebb n-re is teljesülni fog.

Szerinem kérdező megoldása is lényegében korrekt, csak kicsit overkill.

Annyi, hogy a biztonság kedvéért rajzold le pl. n = 3-ra kis téglapokkal, hogy mit jelent az összeg, meg rajzold fölé az 1/x-et. Ugye a hiperbolának végig a téglalapok felett kell lennie, akkor felső becslés az integrál. (Ugye lehet, hogy n-től kéne integrálni az n+1 helyett, de a lényegen és végeredményen ez nem változtat. Meg nem rajzoltam le, így tényleg csak érzésre mondom, hogy ennyiből lehet baj.)

Alkalmazzuk először az n-tagú számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget! Ekkor

([1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n]/n)^2<[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+...+1/(2n)^2]/n.

Itt egyenlőség nem állhat fenn, mert a tagok páronként különbözőek. Szorozzuk be mindkét oldalt n^2-tel, majd alakítsuk át az egyes törtek nevezőjét úgy, hogy ezzel növeljük az összeget!

Így kapjuk, hogy

[1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n]^2<n*[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+...+1/(2n)^2]<

<n*[1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+...+1/(2n-1)(2n)]=

=n*[1/n-1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2)+...+1/(2n-1)-1/(2n)]=n*[1/n-1/(2n)]=1/2.

Ezzel az állítást bebizonyítottuk.