"Bontsa fel a 100-at két olyan szám összegére,amelyek négyzetösszege a lehető legkisebb"?

ab=100

a²+b²=min

Legyen a=100/b

Így a²+b²=100²/b²+b²

Ennek keressük egy szélsőértékét.

Vegyük a deriváltját, tegyük egyenlővé 0-val:

-20000/b³+2b=0

20000/b³=2b

Így 10.000=b⁴

Vagyis: b=10.

Így a is 10.

Itt a tanár által adott megoldás.

Valószínűleg (még) nem tud deriválni. Ráadásul összegre kell felbontani, nem szorzatra, így a megoldásod nem jó.

Kérdező; ha leírnád a megoldásodat, tudnánk mit mondani.

Középszintű tudással; legyen az egyik szám x, ekkor a másik szám (100-x), ezek négyzetösszege

x^2+(100-x)^2 = x^2 + 10.000 - 200x + x^2 =

= 2x^2 - 200x + 10.000

Ennek a másodfokú kifejezésnek kell a minimuma. Mivel a kifejezés könnyen teljes négyzetté alakítható, ezért most válasszuk ezt azt utat;

= 2*(x^2 - 100x + 5.000) = 2*((x-50)^2 + 2.500) =

= 2*(x-50)^2 + 5.000

Ennek a minimuma x=50-nél van, ekkor az értéke 5.000, tehát a 100-at úgy bontjuk fel, hogy 50+50, a tagok négyzetösszegének a minimuma ekkor 5.000 lesz, és eben az esetben a legkisebb.

Még ilyen szintű matektudás sem kell. Nyolcadikos tudással is megoldható.

Ha négyzetösszegről beszélünk, egyből a derékszögű háromszögre gondolok. A háromszög két befogójának összege 100.

Rakj össze 2 egybevágó derékszögű háromszöget megfelelően, és téglalapot kapsz. A cél, hogy az átfogója (aminek négyzete = az átfogók négyzetösszegével) a lehető legkisebb legyen. Ez pedig négyzet esetében valósul meg.

A négyzet oldalai egyenlőek. Tehát 50-50.

Igen, tudom, másképp gondolkodom.

Nem értek a differencialszámításhoz, általános iskolai matektanár vagyok, szokatlan problémamegoldó képességgel.

3-as, nehéz elhinni, hogy matektanár vagy... Bár általános iskolában sok mindent „el kell hinni” bemondásra, attól még a matematika nem úgy működik, ahogy itt most levezetted. Kezdve azzal, hogy hivatkozol egy olyan dologra, ami egyáltalán nem triviális (azonos kerületű téglalapok közül a négyzet átlója a legrövidebb). Az pedig egyáltalán nem „szokatlan problémamegoldó képesség”, hogy négyzetösszeg esetén a Pitagorasz-tételre asszociálsz.

Ami pedig a deriválást illeti; attól, hogy általános iskolás matektanár vagy, kellett tanulnod deriválni, polinomok deriválása pedig a legalapvetőbb dolog a differenciálszámításban.

Szóval a feladat középiskolás ismeretek nélkül nem oldható meg, ha pedig te tanár vagy, megkérdőjelezem a kompetenciádat.

Akkor elvi hibát követtél el.

Először is, nem egy egyenletet kaptál, hanem egy kifejezést, így a 2-vel való osztás „büntetlenül” nem végezhető el.

Másrészt ha a kifejezést egyenlővé teszed 0-val, akkor azt kapod meg, hogy mikor lesz az értéke 0, ebből pedig a feladat szempontjából -önmagában- érdemi dolog nem olvasható ki.

Tehát felvetődik a kérdés, hogy miért így számoltál.

4!

"azonos kerületű téglalapok közül a négyzet átlója a legrövidebb"

Mutass már rá ellenpépdát!

8-as, ha te vagy a „matektanár”, akkor újra sikerült bemutatnod, hogy inkompetens vagy a tárgyhoz... Tudnod kellene, hogy az ellenpélda nem ismerete nem teszi automatikusan igazzá az állítást. Például ha azt állítanád, hogy minden prímszám 100.000-nél kisebb, én pedig nem tudnék ellenpéldát mutatni, az nem jelentené azt, hogy az állításod igaz lenne. Azt NEKED kell bebizonyítanod, hogy NEM LÉTEZIK ELLENPÉLDA.

Egyébként itt egy nem is annyira bonyolult bizonyítás (de az általános iskolás tudás kevés hozzá); tegyük fel, hogy az állítás igaz, vagyis a 4a kerületű téglalapok közül a legkisebb átlója az a oldalú négyzetnek van, ami gyök(2)*a hosszú. Változtassuk meg ennek a négyzetnek az oldalait k-val és (-k)-val, így a kapott téglalap oldalai (a+k) és (a-k) hosszúak lesznek (a kerület viszont 4a marad), ekkor az átlók hossza gyök[(a+k)^2+(a-k)^2]=...=gyök[2a^2+2k^2]=gyök(2)*gyök(a^2+k^2), ez pedig szemlátomást nagyobb a gyök(2)*a-nál, tehát az eredeti állítás igaz.

Most bizonyítottad be, hogy igazam van. Az algebrai bizonyítás sem rossz, de én inkább a Thales tételből kiindulva bizonyítanám.

Jó éjt!