Ha a_n <= b_n minden n természetes szám esetén, valamint a_n monoton növekedő és b_n monoton fogyó, akkor metszetük n=0 tól végtelenig(a_n,b_n) nem lesz üres?

Kénytelen konvergensek lenni, mivel egyrészt szigorúan monotonok (emiatt nem lehet bennük „hullámzás”, tehát nem lehetnek oszcillálva divergensek), másrészt a tagok közt fennálló reláció miatt „nem tudnak helyet cserélni”, emiatt nem divergálhatnak a +-végtelenbe. Tehát egyre közelednek egymáshoz, aztán két lehetőség van; vagy ugyanahhoz a számhoz tartanak, vagy nem. Ha nem, akkor a két határérték közötti számok halmaza lesz a metszet, ha ugyanahhoz, akkor az a szám lesz benne a metszetben egymaga.

De, attól még konvergens lesz mindkettő, csak a nyílt intervallumok metszete lehet üreshalmaz. Például ha a_n=b_n=0, akkor az összes intervallum üreshalmaz lesz ( a (0;0) intervallum nem tartalmaz elemet), emiatt ebben az esetben a metszet üreshalmaz lesz.