Az ABC△ két csúcsa, B és C rögzítettek, az A csúcsa pedig nem rögzített. Hogyan lehet meghatározni a háromszög súlypontjának mértani helyét, ha: (a) Az A pont egy egyenesen mozog. (b) Az A pont egy rögzített körön mozog?

a) egyenesen

b) körön

vektorokkal egyszerűen belátható

Legyen a C csúcs az origo. A-ba mutat az a vektor, B-be a b vektor, súlypont az S, ebbe az s vektor. Az a vektor a változó.

s = a/3 + b/3

A P ponton átmenő egyenes egyenlete: p + vt, ahol v az irányvektor, t tetszőleges valós szám. Az A ezen van: a = p + vt.

Akkor s = (p + vt)/3 + b/3 = (p + b)/3 + (v/3)t, ami egy egyenes egyenlete.

****

Legyen ( , ) a belső szorzat, ekkor az r sugarú, p középpontú kör egyenlete:

(x-p, x-p) = r², ahol x a körvonal pontjaiba mutató vektorok. Az A pont most ezen fut. Fejezzük ki a-t s segítségével:

a = 3s-b

így kapjuk, hogy

r² = (3s-b-p, 3s-b-p) = 9(s-(b+p)/3, s-(b+p)/3), ami

az r/3 sugarú (b+p)/3 középpontú kör egyenlete.