Egy egyenlő oldalú háromszög súlypontja G(2, 1) és egyik csúcsa egybeesik az origóval. Hogyan kell felírni az oldalak egyeneleteit és meghatározni a másik két csúcs koordinátáit?

Először is tudjuk, hogy a súlyvonalat 2:1 arányban osztja a súlypont a csúcstól mérve, tehát ki tudjuk számolni a szemközti oldal felezőpontját;

-kiszámoljuk a csúcs és a súlypont által meghatározott szakasz felezőpontját: (1; 0,5)

-ezután felírjuk a csúcsból a felezőpontba mutató vektort: v(1; 0,5),

-ezzel eltoljuk a súlypontot, így kapjuk az F(3; 1,5) pontot.

A szemközti oldal két végpontját így A(3-k ; 1,5-l) és B(3+k ; 1,5+l) alakban keressük ahol k és l valami konstansok, mivel ezek felezőpontja tetszőleges k-ra és l-re az F pont. A pontok általános alakját máshogyan is fel lehet írni, de talán ez a legegyszerűbb.

Tudjuk azt is, hogy szabályos háromszög esetén a súlypont egybeesik a köréírható kör középpontjával, így felírjatjuk a háromszög köré írható kör egyenletét;

-a kör sugara: az OG távolság: gyök(5)

-a kör középpontja: G(2;1)

Ezek alapján a kör egyenlete: (x-2)^2 + (y-1)^2 = 5

Ezen a körön rajta kell, hogy legyen az A és a B pont is, tehát koordinátáik megoldást kell, hogy adjanak az egyenletre, így azok koordinátáit beírhatjuk az ismeretlenek helyére:

(3+k-2)^2 + (1,5+l-1)^2 = 5 és

(3-k-2)^2 + (1,5-l-1)^2 = 5

A két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, ezért egyenletrendszert alkotnak.

Az egyenletrendszernek ugyan két megoldáspárja lesz, azonban mindkettő ugyanazokat a pontokat határozza meg, csak más sorrendben. A lényeg, hogy így a háromszög másik két pontját is megismerjük, így már minden adott ahhoz, hogy a háromszög oldalegyeneseit felírjuk.

Komplex számokkal egyszerű számolás.

Legyen a=-2-i, b=cos(120°)+i*sin (120°).

Észrevehetjük, hogy b^2 = cos(120°)-i*sin (120°).

Kiszámolod a*b-t majd a*b^2-t.

A két további csúcs: a*b-a és a*b^2-a alakban írható. Kész.

Az oldalak egyenlete a csúcsok ismeretében, már nagyon könnyű, ahhoz nem kell komplex szám.