Mi akar lenni ez a megoldás derviálásnál?

A tangensx deriváltja nem sinx/cosx, hanem az maga a tangensx. A tangenst egyszerűbb ebből a hányadosból deriválni, mert hányadost tudunk deriválni, a sinx és cosx deriváltjai pedig szintén közismertek.

A sec az a szekánsfüggvény, ami a koszinuszfüggvény reciproka, vagyis 1/cosx.

Amikor tanultátok a derékszögű háromszögben, hogy a szögeket hogyan lehet megkapni a háromszög oldalainak elosztásával, akkor 6 helyett csak 4 lehetőséget tanultatok. A matadék kettő:

szekáns: sec(x) = átfogó/szög melletti befogó

koszekáns: cosec(x) = csc(x) = átfogó/szöggel szemközti befogó

(furcsa mód a szinusz reciproka a koszekáns és a koszinusz reciproka a szekáns, vagyis sec(x)=1/cos(x) és cosec(x)=1/sin(x) ).

Ezeknek a függvényeknek csak erősen elméleti jelentőségük van, a gyakorlatban szinte soha nem használjuk őket. Egyszerűbb törtalakban felírni. Olyan esetekben lehet érdekes a másik két függvény, mint a tangens-kotangens kapcsolata; tudjuk, hogy ctg(x)=1/tg(x), viszont van, ahol a tangens értelmezhető, de a kotangens nem és fordítva, ezt a „pár” pontot leszámítva bármikor használható a törtalak.

1: "Ezeknek a függvényeknek csak erősen elméleti jelentőségük van, a gyakorlatban szinte soha nem használjuk őket."

Ez alól a differenciálás és az integrálás pont kivételt jelent, ott bizonyos esetekben nagyon is érdemes lehet áttérni tangensre és szekánsra, mert kettejüknek van egy nagyon hasznos azonossága: tg²x + 1 = sec²x; ill. egymás deriváltjaiban is feltűnnek: (tg x)' = sec²x, (sec x)' = sec(x)*tg(x). Ezek az összefüggések jelentősen megkönnyíthetik egy-egy integrál- vagy differenciál-feladat megoldását. De persze lehet használni a reciprokos kifejezést is, ha valaki idegenkedik a szekánstól: (tg x)' = sec²x = 1/cos²x.

"szükségem van az egyszeres deriváltra, de ha ugyan az"

Miért lenne ugyanaz? A tg x az nem más, mint sinx/cosx. Ez egy azonosság, nem deriválás! A deriváltja viszont: (tg x)' = sec²x = 1/cos²x.