Segítene ebben a feladatban valaki kérem?

Először írjuk fel a 720 prímtényezős felbontását:

720 = 2^4 * 3^2 * 5^1

Amikor az a és b számokat összeszorozzuk, akkor az azonos prímalapú hatványok tényezői összeadódnak, például 180*18 = 2^2 * 3^2 * 5^1 * 2^1 * 3^2 * 5^0 = 2^(2+1) * 3^(2+2) * 5^(1+0) = 2^3 * 3^4 * 5^1 = 3240.

Az a*b szorzat akkor fogja a 720-at osztani, hogyha az eredményben az azonos prímalapú hatványok kitevői kisebbek vagy egyenlőek a 720-ban található kitevőkkel, ha viszont akár csak az egyik nagyobb, akkor nem lesz osztója. A fenti példa azért nem lesz osztója, mert a 3 kitevője meghaladja a 720-ban lévő 3-as kitevőjét (4>2).

Mivel annak a lehetősége eléggé szerteágazó számolást igényel, hogy hány nem osztója, ezért érdemesebb azt vizsgálni, hogy hány esetben osztója az a*b, és azok számát levonni az összes lehetőségből. Ehhez egy minimális kombinatorikai ismeret szükséges:

Összes eset: az a számban a kitevők helyére 5;3;2 számok írhatóak, a b szám esetén szintén, tehát 5*3*2*5*3*2=900-féle lehetőség van az a és b számok meghatározására (ha az a és b számok sorrendje számít, most számoljunk így).

Kedvező eset: mivel kis számokról van szó, ezért manuálisan is összeszedhetjük a lehetőségeket. Azt kell megnézzük, hogy a különböző prímalapú hatványok kitevői hányféleképpen alakulhatnak ki;

2: a 2-es kitevőjébe 0-4-ig írhatunk számokat, ezek összege 0 és 4 közé eshet úgy, hogy 0 is és 4 is lehet az összeg. Ennek megfelelően:

-az összeg 0: 0+0

-az összeg 1: 0+1, 1+0

-az összeg 2: 0+2, 1+1, 2+0

-az összeg 3: 0+3, 1+2, 2+1, 3+0

-az összeg 4: 0+4, 1+3, 2+2, 3+1, 4+0

Tehát az eredményben a 2-es kitevője 15-féleképpen alakulhat.

3: a kitevő 0 és 2 közé kell, hogy essen:

-az összeg 0: 0+0

-az összeg 1: 0+1, 1+0

-az összeg 2: 0+2, 1+1, 2+0

Tehát az eredményben a 3-as kitevője 6-féleképpen alakulhat.

5: a kitevő 0 vagy 1 lehet:

-az összeg 0: 0+0

-az összeg 1: 0+1, 1+0

Az 5 kitevőjére pedig 3 lehetőség van.

Ez azt jelenti, hogy 15*6*3=270 esetben tudjuk a számokat úgy kiválasztani, hogy a szorzat osztója legyen a 720-nak. Így pedig 900-270=630 olyan a;b párosítás van, amikor a számok külön-külön osztói a 720-nak, de a szorzatuk nem.

Ha a számok sorrendiségét nem akarjuk figyelembe venni, akkor sajnos nem elég annyit csinálni, hogy osztunk 2-vel. Ez azért van, mert például az 1;2 és 2;1 számpárok kétszer lettek megszámolva, de az 5;5 számpár csak egyszer, a 2-vel osztással így az 5;5 csak "félszer" lenne megszámolva. Külön kérésre ennek számítását is leírom, de az elv ugyanaz, mint ahogy számoltunk.