Matek, számtani sorozatok (? )

A kérdésedből arra következtetek, hogy még az alapfogalmak sem teljesen világosak számodra. Javaslom pl. a következő oldalt

[link]

Itt csak néhány, a feladat megértéséhez szükséges fogalmat érintenék.

"Egy legalább három számból álló – akár véges, akár végtelen – sorozatot akkor nevezünk számtani sorozatnak, ha a szomszédos elemek különbsége – differenciája – (a sorozatra jellemző) állandó."

A "mit jelent pontosan az n." kérdésre a válasz, hogy a sorozat elemeinek száma.

Pl az 1, 3, 5, 7, 9, 11 sorozatnak 6 eleme van, így n = 6

A differencia megszokott jele: d

Az elemeket a1, a2, a3, a4 ...., an ('az n alsó index' szimbólumokkal jelöljük

a1 az első elem, a2 a második stb...

Néhány összefüggés

- Minden elem - az elsőt kivéve - az előtte levő elem és a differencia összege, vagy az utána következő és a differencia különbsége. Pl.:

a2 = a1 + d;

a3 = a2 + d = a1 + 2d,

a4 = a3 + d = a1 + 3d

Ebből általánosítható

- Az n-ik elem nagysága

(1) an = a1 + (n-1)*d (an-ben az 'n' alsó index akar lenni)

- Minden elem - az elsőt kivéve - a tőle azonos index-távolságban levő elemek számtani közepe. Pl.:

az 1, 3, 5, 7, 9, 11 sorozatban a 3. elem a 3-2=1. és a 3+2=5. elem számtani közepe

a3 = (a1 + a5)/2 = (1 + 9)/2 = 5

- Az első n elem összege

(2) Sn = (a1+an)*n/2

Egy másik alakját kapjuk, ha ebbe behelyettesítjük az an kifejezést

Sn = [a1 + a1 + (n-1)*d)]*(n/2)

(3) Sn = [2*a1 + (n-1)*d)]*(n/2)

Ennyi ismerettel a feladatoknak már neki lehet futni.

A megoldáshoz az adatok helyes értelmezése a döntő.

Akkor uccu neki. :-)

***********************

1). Egy nézőtér első sorában 60 személy ülhet. Hány embernek van helye a nézőtér 20. sorában, ha minden sorban az előzőnél 8-cal több ülőhely van?

a1 = 60

d = 8

n = 20

---------

a20 = ?

Az (1) képlet alapján

an = a1 + (n-1)*d

a20 = 60 + (20 -1)*8

a20 = 212 nézőnek van hely a 20. sorban.

========

*********************

2.) Egyforma golyókat helyezünk el az asztalon háromszög alakban: az első sorban 1, alatta, hozzáillesztve 2; majd a következő sorban 3 stb.

Tudjuk, hogy

a1 = 1

d = 1

²

a) Hányadik sorba kerül a 30. golyó?

Tegyük fel, hogy a 30. golyó az 'n'-ik sorba esik, azon belül az elsőtől az utolsóig (an-ik) bármelyik helyen lehet. Ekkor a következő egyenlőtlenséget lehet felírni:

Sn ≥ 30

Ennek a sorozatnak az n-ik eleme ((1) képlet)

an = a1 + (n-1)*d

an = 1 + (n-1)*1

an = n

Az összegképlet pedig a következő lesz ((3) képlet)

Sn = [2*a1 + (n-1)*d)]*(n/2)

Sn= [2*1 + (n-1)*1]*(n/2)

Sn = n(n+1)/2

Így az egyenlőtlenség

n(n+1)/2 ≥ 30

n² + n - 60 ≥ 0

A pozitív gyök egész részét véve az egyenlőtlenségből adódik, hogy

n ≥ 7

A kerekítetlen pozitív gyök

n = 7,2620... ( 7,2620873481300118644312308835865)

így ez a keresett sor, vagyis a 7-ik sor után következő - a 8-ik - sorba esik a 30. elem. A elem sorszámát a 8.sorban úgy lehet megkapni, hogy a gyök tört részét megszorozzuk a 8. sor elemeinek számával.

Mivel

an = n

a8 = 8

Legyen h30 a 30. elem sorszáma az 'an'-ik sorban

h30 = [n - INT(n)]*a8

Ennek eredménye kerekítéssel

h30 = 2

Tehát a 30. elem a 8. sor 2. eleme.

Ellenőrzés

S7 = 28

S7 + 2 = 30

b) Hány golyóra van szükség ahhoz, hogy a határoló háromszög oldala 10 golyóból álljon?

Annyi golyó határolja a háromszöget, ahány sor van, tehát

n = 10

S10 =?

Így már meg lehet határozni az első 10 elem összegét (3) képlet

S10 = [2*1 + (10-1)*1)]*(10/2)

S10 = 11*10/2

S10 = 55 golyóra van szükség.

=======

**********************

3.) Egy könyvszekrényben 7 polc van. A legalsó polcon 51 könyv van, és minden további polcon 3-mal kevesebb, mint az alatta levőn. Hány könyv van ebben a könyvszekrényben?

n = 7

a1 = 51

d = -3 (Figyelem! a differencia negatív)

---------

S7 = ?

Célszerű a (3) képletet alkalmazni

Sn = [2*a1 + (n-1)*d)]*(n/2)

S7 = [2*51 +(7-1)*(-3)]*(7/2)

S7 = [102 -18]*(7/2)

S7 = 294 könyv van ebben a könyvszekrényben

=======

************************

4.) Egy stadionról tudjuk, hogy egy szektora egy emelkedő körgyűrűcikk. Az első sorban 80, a többiben soronként 4-gyel több ülőhely van. Minden sor 35 cm-rel magasabban van, mint a megelőző. Tudjuk még, hogy az utolsó sor 14 méterrel magasabban van, mint az első. A stadion 8 ilyen szektorból áll. Mekkora a maximális nézőszám?

N = 8 - a szektorok száma

SN - az összes ülőhelyek száma

Egy szektor adatai

a1 = 80

d = 4

Az 'n' értékét a megadott magasságokból lehet megkapni.

A lépcsők száma 14/0,35 = 40, de mivel a felső szinten is lehet ülni,

n = 41

Így az egy szektor ülőhelyeinek száma a (3) összegképlet szerint:

S41 = [2*80 +(41-1)*(4)]*(41/2)

S41 = (160 + 160)*(41/2)

S41 = 6560

A 8 szektorban összesen

SN = 8*6560

SN = 52480 néző fér be a stadionba.

=========

Ha kérdésed van, ereszd meg nyugodtan.

DeeDee

************

Természetesen írhatsz, ha tudok, nagyon szívesen segítek.

DeeDee

********