Igazoljuk hogy ha 0<a<b valós szamok, akkor a és b között van racionális szám?????

En azt mondom írd le a kérdést kérdőjel nélkül:

Igazoljuk hogy ha 0<a<b valós szamok, akkor a és b között van racionális szám.

Aláírás

Híres matematikus 1

Híres matematikus 2

Konkrétan meg tudunk adni egy racionális számot; legyen a racionális számunk n, ekkor a<n<b teljesül. Szorozzuk meg ezt az egyenlőtlenséget k-val:

k*a < k*n < k*b

Az biztos, hogy létezik olyan k pozitív egész, amelyre teljesül, hogy

k*b - k*a > 1, ebben az esetben elmondhatjuk, hogy a [k*b] (egészrész) biztosan racionális és a két szám közé esik, vagyis

k*n = [k*b], rendezés után n=[k*b]/k lesz a keresett racionális szám az a és b közé.

Sőt, az is belátható, hogy végtelen sok alkalmas k egész (sőt, akár racionális is lehet) szám létezik, tehát ezzel a módszerrel végtelen sok racionális szám megadható a és b közé.

Például a pi=~3,14 és e=~2,72 szám esetén így számolhatunk;

e < n < pi, szorzunk 10-zel:

10*e < 10*n < 10*pi, itt 10*pi-10*e különbsége ~4,2, így a [10*pi] egész szám biztosan 10*pi és 10*e közé esik, így a [10*pi]/10 racionális szám a pi és az e közé fog esni.

Még annyi lemaradt, hogy a k értékei belőhetőek a

k*b - k*a > 1 egyenlőtlenség alapján. Kiemelünk k-t:

k*(b-a) > 1, mivel b-a biztosan pozitív, ezért gond nélkül oszthatunk vele:

k > 1/(b-a)

Ebből is látszik, hogy végtelen sok alkalmas racionális k létezik.