Mi a megoldása az alábbi kombinatorikai feladatnak?
Adottak a következő számjegyek: 0, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 6. A kérdés az, hogy hány 5 jegyű 5-el osztható számot képezhetnek? Minden számjegy csak egyszer szerepelhet (a 0 és a 6 azért szerepelhet kétszer, mert kétszer vannak megadva).
Az első helyen nem szerepelhet a 0, mert akkor már négyjegyű lenne. A feladatot két részre kell osztani, és ezeket külön számolni – megoldani, majd az eredményeket összeadni. Az első esetben az utolsó számjegy a 0, a másodikban az utolsó számjegy az 5-ös.
Az első eset (0 a végén) megoldásaként a tanár ezt írta fel:
n₁=6*6*5*4/2!
A második eset (5-ös a végén) megoldásaként meg ezt:
n₂=6*6*5*4/(2!.2!)
Ezeket sehogy sem értem. Elmagyarázná nekem valaki, hogy miért ez a megoldás?
válasza:Azért nem érted, mert baromságot írt a tanár... Úgy számolt, mintha ismétléses variáció lenne (amivel alapvetően nem lenne baj), aztán osztott, ami az ismétléses elemek miatt kell, ezzel sincs gond. Amivel gond van, hogy ha így számol, akkor nem minden esetben használja fel a duplázott számokat, és akkor nem is lehet „csak úgy” 2-vel osztani... Például az első esetben az 54320 szám is megszámolásra kerül, de nem lesz kétszer megszámolva, hogy osztani kelljen...
Ennél a feladatnál sajnos bonyolultabb a számolás menete, minthogy ennyivel el lehessen intézni; aszerint kell az eseteket szétválasztanod, hogy az azonosak közül hányat használsz fel;
első eset: mindegyik számjegy különbözik
második eset: csak a két 0 azonos
harmadik eset: csak a két 6-os azonos
negyedik eset: a két 0 és a két 6-os is szerepel
persze az eseteken belül azt is kell nézned, hogy a szám 0-ra vagy 5-re végződik, tehát igazából 8 különálló esettel kell foglalkoznod.
Az esetekben kapott megoldásokat összeadva kapod a lehetőségek számát.
válasza: válasza:És akkor még arról nem is esett szó, hogy miért 6-tal kezdi a szorzást, amikor az első helyre csak 5-féle számjegy mehet... ráadásul az 5-re végződőnél meg csak 4-féle mehet az első helyre.
Ez a tanár nagyon el van tájolódva...
válasza:A tanár gondolatmenete:
A számok: 0a, 0b, 2, 3, 4, 5, 6a, 6b
Az első esetben az utolsó számjegy a 0:
- az első helyre a 2, 3, 4, 5, 6a, 6b közül lehet választani: 6
- a 2,3,4 helyekre a 0, 2, 3, 4, 5, 6a, 6b számokból 6,5,4 féleképpen: 6*6*5*4
- az ötödik hely fix
- A két 6-os sorrendje felcserélhető, ezért 2-vel osztunk: 6*6*5*4. De ez HIBÁS, mert nem biztos, hogy mindkét 6-os szerepel a számban. (Ahogy 1-es is írta.)
A második eset (5-ös a végén):
- az első helyre a 2, 3, 4, 6a, 6b közül lehet választani: 5 (Itt a tanár rontott.)
- a 2,3,4 helyekre a 0a, 0b, 2, 3, 4, 6a, 6b számokból 7,6,5 féleképpen (itt is hibázott a tanár): 5*7*6*5
- az ötödik hely fix
- A két 6-os és 0-ás sorrendje felcserélhető, ezért 2*2-vel osztunk: 5*7*6*5/(2*2). Ez is HIBÁS, mert nem biztos, hogy mindkét 6-os és 0-ás szerepel a számban. (Ahogy 1-es is írta.)
Megpróbáltam megoldani az #1 válaszoló útmutatása alapján (a számok helyeit balról jobbra számoltam):
1. A végén 0 van (5. hely) és az első 4 helyen mindegyik számjegy különbözik:
6!/(6-4)! – 5!/(5-3)! = 360 – 60 = 300 (kivonom azokat az eseteket, amikor az első számjegy a 0)
2. A végén 0 van és a másik 0 is benne van. Az 1. eset tartalmazza ezt is.
3. A végén 0 van és két 6-os van benne:
A két 6-ost: 3+2+1 = 6-féleképpen tudom elhelyezni az első 4 helyen. A fennmaradó 2 helyre a többi 5 számjegyből (0, 2, 3, 4, 5) kerül kettő: 5!/(5-2)!. Ezeknek az eseteknek a száma: 6*5!/(5-2)!. Ha az 1. helyen 0 van, akkor a két 6-ost: 2+1 = 3-féleképpen tudom elhelyezni a fennmaradó 3 helyen, és a többi számjegyet (2, 3, 4, 5) meg csak 1-féleképpen (1 hely marad), így ezen esetek száma: 3*1 = 3.
Összegezve: 6*5!/(5-2)! – 3 = 120 – 3 = 117 (kivonom azokat az eseteket, amikor az első számjegy a 0)
4. A végén 0 van és a másik 0 is benne van és a két 6-os is szerepel benne. A 3. eset tartalmazza ezt is.
5. A végén 5 van és az első 4 helyen mindegyik számjegy különbözik:
5!/(5-4)! – 4!/(4-3)! = 120 – 24 = 96 (kivonom azokat az eseteket, amikor az első számjegy a 0)
6. A végén 5 van és csak a két 0 azonos, de csak egy 6-os van benne:
A két 0-át: 3+2+1 = 6-féleképpen tudom elhelyezni az első 4 helyen. A fennmaradó 2 helyre a többi 4 számjegyből (2, 3, 4, 6) kerül kettő: 4!/(4-2)!. Ezeknek az eseteknek a száma így: 6*4!/(4-2)!. Ha az 1. helyen 0 van, akkor a fennmaradó 3 helyre a többi 5 számjegyből (0, 2, 3, 4, 6) három kerül, és ezeknek az eseteknek a száma: 5!/(5-3)!.
Összegezve: 6*4!/(4-2)! – 5!/(5-3)! = 72 – 60 = 12 (kivonom azokat az eseteket, amikor az első számjegy a 0)
7. A végén 5 van és két 6-os van benne, de csak egy 0:
A két 6-ost: 3+2+1 = 6-féleképpen tudom elhelyezni az első 4 helyen. A fennmaradó 2 helyre a többi 4 számjegyből (0, 2, 3, 4) kerül kettő: 4!/(4-2)!. Ezeknek az eseteknek a száma így: 6*4!/(4-2)!. Ha az 1. helyen 0 van, akkor a fennmaradó 3 helyre a többi 5 számjegyből (2, 3, 4, 6, 6) három kerül, és ezeknek az eseteknek a száma: 5!/[(5-3)!*2!].
Összegezve: 6*4!/(4-2)! – 5!/[(5-3)!*2!] = 72 – 30 = 42 (kivonom azokat az eseteket, amikor az első számjegy a 0)
8. A végén 5 van és két 6-os van benne és két 0:
7!/[(7-4)!*2!*2!] – 6!/[(6-3)!2!] = 210 – 60 = 150 (kivonom azokat az eseteket, amikor az első számjegy a 0)
Mindet összeadva (1-8): 300 + 117 + 96 + 12 + 42 + 150 = 717
Jól számoltam?
válasza:Én úgy számoltam, hogy az összes szóba jöhető számötöst (30 db) végignéztem, és úgy 624 jött ki. De már az elején biztosan rosszul számoltál:
"1. A végén 0 van (5. hely) és az első 4 helyen mindegyik számjegy különbözik:
6!/(6-4)! – 5!/(5-3)! = 360 – 60 = 300 (kivonom azokat az eseteket, amikor az első számjegy a 0)
2. A végén 0 van és a másik 0 is benne van. Az 1. eset tartalmazza ezt is."
Az első eset nem tartalmazhatja a második esetet, mivel az első esetben minden számjegy különböző, a másodikban pedig nem.
válasza:#6
"Az első eset nem tartalmazhatja a második esetet, mivel az első esetben minden számjegy különböző, a másodikban pedig nem."
Tartalmazza. Mert az első 4 különbözik, de az első 4 közül az egyik (a 0) nem feltétlenül különbözik az ötödiktől.
válasza:Igen, már én is rájöttem, csak félreértettem.
Mindenesetre nekem akkor is 624 jött ki, szóval valamelyik számítás biztosan hibás (vagy mindkettő).
#9
Írd le légyszi, hogy az egyes szóba jöhető számötösöknél (30 db) hányféle megoldás van és feltüntetve a hozzá tartozó számötöst is. Így ezeket összehasonlítva az én számításaimmal könnyebben meg tudnám találni a hibát.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!