Egy derékszögű háromszög egyik befogója 17 cm és a beleírt kör sugara 3 cm?

Lehet, hogy van szebb megoldás is, hirtelen ezt találtam;

Legyen a másik befogó b, az átfogó c. Két egyenletet tudunk felírni;

1. A jó öreg Pitagorasz-tétel: 17^2 + b^2 = c^2

2. A háromszög területét kétfélekképen tudjuk felírni; egyrészt 17*b/2, másrészt a T=r*s képlet alapján, ahol s a kerület fele, vagyis T=3*(17+b+c)/2. Értelemszerűen a két kifejezés egyenlő kell, hogy legyen, tehát a második egyenlet:

17*b/2 = 3*(17+b+c)/2

A két egyenlet egyenletrendszert alkot, ami megoldható.

Trigonometriával; legyen a 17 cm-es oldal két végpontja B és C, ahol C a derékszögű csúcs. Az ábrában húzzuk be a beírt kör azon sugarait, amelyek merőlegesek a befogókra (így keletkezik egy négyzet), és a középpontot kössük össze a B csúccsal, ekkor a nagy derékszögű háromszögön belül keletkezik egy kisebb derékszögű háromszög, amelynek ismerjük a két befogóját, ezek 3 és 14 cm hosszúak. A kisebbik háromszög B csúcsánál fekvő szög legyen α, ekkor az α szög tangense felírható;

tg(α) = 3/14, ennek megoldása α=~12,095°.

Tudjuk, hogy tetszőleges háromszögben a beírható kör középpontját a belső szögfelezők metszéspontja adja meg, emiatt a B csúcs és a kör középpontjának összekötésével a szögfelezőt húztuk be. Ez azt jelenti, hogy a nagy derékszögű háromszögben a B csúcsnál lévő szög az előbb kapott szög kétszerese, vagyis 24,19°-os lesz. Innen pedig már az összes többi hiányzó adat megállapítható.